FAKULTET mat.-fiz. 2008/09, M$ - MATERIAŁY

(Tutaj zadania ze wszystkich sprawdzianów, kartkówek i popraw naszego fakultetu).

Implikacja października:
Masz talenty, wdzięk i polot. => Będziesz gwiazdą disco polo.

Z001/2008. Takie są tu wymagania: rozwiąż śmiało te równania:
a) x = 0,123456789x,  b)  ax = bx,  c)  2x = 0,0625,  d)  9x = 1/27,  e)  (1/16)x = 8,  f)  4x = -0,5.

Z002/2008. I wyższy poziom trudności – rozwiąż takie nierówności:
a) 3x > 1/3,  b)  6x  6,  c)  (1/5)-x < 1,  d)  0,25x  32,  e)  (2/3)x  0,  f)  (1/)x  0,  g)  2x > -8.
Jeśliś nie jest z matmy w lesie, przedstaw to też na wykresie!

Z003/2008. 	Nowy temat idzie właśnie,
		więc go zaraz napoczniemy.
		Szybko zatem wpierw wyjaśnię,
		co też logarytmem zwiemy.
		Logarytm otóż o wykładnik jest pytaniem:
	log39 (logarytm przy podstawie trzy z dziewięciu)
	- dalej dążę z wyjaśnianiem -
	dwa wynosi – cóż trudnego w tym pojęciu?!
	Teraz kończę me gadanie
	- „Uzupełnij!” brzmi zadanie:

Z004/2008.	Pytania może jeszcze takie postawię w tym jakże dogodnym momencie:
	co stać nie może w logarytmu podstawie? co nie ma sensu w argumencie?

Z005/2008*.	Czy otrzemy się już o bezczelność (chciałbym poznać Wasze zdanie),
gdy spytam o log23 wymierność? (UDOWODNIJ swe mniemanie!)

Zad. dom. na 5 XI 08:
a)	(zadanie maturalne Kraków 1999) Dla jakich m równanie
-(m4+1)·9x+4(m3−m2+3)·3x+4m = 14  ma dwa pierwiastki różnych znaków?
b)	Uprość a^logab i loga(a^b). Który z tych zapisów daje większą swobodę wyboru a i b?
c)	Jak robi się indeksy w HTML? A superscripty? :>

Z00/2009. Wyjaśnij, dlaczego wbrew temu, co sądzili niektórzy na sprawdzianie:
a)  to NIE to samo co  (za to nie obniżałem, choć błąd to karygodny i nie powiem już, na jakim poziomie!... )

b) NIE zachodzą poniższe równości (a dlaczego w ogóle ktoś mógł pomyśleć, że zachodzą?):
(b1) ,  (b2)  (tu jakby dwa błędy za jednym przekształceniem),  (b3)  ,  (b4) 0,01=10-3,  (b5)  (!!?),  (b6) ,  (b7)  (2 błędy?),  (b8) (x+1)3 = (x+1)(x2x+1),  (b9) ,
(b10)  (a tak napisały 3 osoby!),  (b11) 10x10x = 10x+1,  (b12) 3221=3,
(b13) ,  (b14) ,  (b15) 30100x = 10(310x),
(b16) ,  (b17) 4x/2 = 2x,  (b18) 21,5 = 2+2,  (b19) x/6 = (1/6)x,
(b20) ,  (b21) 641/3 = 4

c) NIEPRAWDĄ jest, że:  (c1) 9x1  10  9x+1  1/10,  (c2)  (2 błędy!),
(c3) (9/100)x  (9/100)0,5  x  1/2,  (c4) log4(x+3) = (x+5)/6  64x+5 = x+3,
(c5) log2x < 0  x < 1,  (c6) 2x+1=3x  x=1,  (c7) f(x) = 3|x|   f(x) = 3|x|,
(c8) f(x) = 3x   |f(x)| = 3|x|,  (c9) równanie |x| = p ma dla p>0 niesk. wiele rozwiązań,
(c10) do zbioru wartości funkcji postaci y = 1+ |f(x)| należy 0 lub ½ (niezależnie od wzoru f(x)!)

(d) Niektórym nie udało się też niestety narysować wykresów:  y = 2x+1,  y = (½)x+3,  y = x/6,  y = x/6 + 5/6,  y = 1/x. Czy TY potrafisz?

Na 12 XI rozwiąż nierówności: logx3 < 9-1  ORAZ  log4(x) ≥ -1.

Na 19 XI ustal, co powinno stać w miejscu „hmm...”, aby funkcje y=2x i y=3hmm...x były równe. A o jakim związku między ich wykresami to wyrokuje?

Implikacja listopada:
Święty Andrzej ze śniegiem przybieży. => Sto dni śnieg na polu leży!

Alternatywa grudnia:
To be Ú Ø to be.*
* - Pytania: czy polski tłumacz nadużył zaufania czytelników, stosując w tej wypowiedzi alternatywę wykluczającą? Czy wypowiedź z xorem byłaby równoważna oryginalnej? Czy spójnik taki był już w ogóle znany, kiedy żył jej autor? A w czasach, w których rozgrywa się ten dramat? :> 
Przykładowe (konkretnie akurat moje) rozwiązania zad. 4.7.c) i d) ze zbioru: (ale nadal namawiam do spróbowania też samemu - jak mówiłem: każdy może ustalić wygodną dla siebie metodę rozwiązania, może nawet krótszą od tych, które były okazywane, i lepszą też od mojej?!)

4.7.c) Wiedząc, że log142 = a  i  log145 = b, oblicz log750.

Mamy: 2 = 14a, czyli 2 = 2a7a, czyli 21a = 7a (podzieliłem obie strony przez ...
– legalnie, bo to przecież liczba dodatnia! (wiadomo, czemu?)).
Teraz podnoszę obie strony do ... – mogę, bo obie strony dodatnie (czemu?): 2 = 7a/(1a).

Z treści zadania wiemy również, że 5 = 14b, czyli 5 = 2b7b, a po podstawieniu tego, co wyliczyliśmy (w sumie JA wyliczyłem! :p) przed chwilą daje to: 5 = 7ab/(1a)+b, czyli 5 = 7b/(1a).

Dalej: 50 = 252 = (znów podstawiając wyliczone) 7a/(1a)72b/(1a) = 7(a+2b)/(1a), ale to znaczy przecie, że log750 = (a+2b)/(1a), uff!

4.7.d) Wiedząc, że log320 = a  i  log315 = b, oblicz log2360.

15 = 3b, skąd podobnie jak powyżej 5 = 3b1.
Z kolei 20 = 3a, czyli 522 = 3a, a po podstawieniu: 3b122 = 3a, czyli 3 = 22/(ab+1).
Jednocześnie chytrze zauważamy, iż 360 = 2018, czyli 360 = 3a232 = 23a+2, a po podstawieniu zamiast trójki wyliczonej pracowicie potęgi dwójki: 360 = 21+(2/(ab+1))(a+2) i dalej:
360 = 2(3ab+5)/(ab+1)), a to oznacza przecież już... 

Mam nadzieję, że chyba jednak nie tak straszne?
Działania na potęgach w zasadzie tylko i perspektywiczne patrzenie na przekształcenia! 

Z innej beczki (zastępstwo na matmie klasowej) - zad. 3.132 ze zbioru:
Ustal a i b, jeśli wiadomo, że P(x)|W(x), P(x) = x2 - 4x + 3, W(x) = x3 – (a+b)x2 - (a-b)x + 3.

Rozwiązanie 0:

Dzielimy W(x) przez P(x) zgodnie z zasadami sztuki:

__                         x +    (4-a-b)
 (x3 - (a+b)x2 -      (a-b)x +         3) : (x2 - 4x + 3)
-(x3 -    4 x2 +        3 x)
     (4-a-b)x2 +   (-3-a+b)x +         3
   -((4-a-b)x2 +(-16+4a+4b)x – (12-3a-3b))
                 (13-5a-3b)x + (-9+3a+3b)

Ponieważ P(x)|W(x), wielomian reszty musi być zerowy, czyli 13=5a+3b  9=3a+3b, skąd łatwo (po odjęciu stronami chyba najlepiej!): a = 2 i z drugiego b = 3-a = 1.

Metoda jest w porządku, ale chyba jednak niezbyt wygodna, a jeszcze gorzej byłoby, gdyby parametry pojawiały się we wszystkich współczynnikach wielomianu W. :]

Natomiast dzięki rozkładowi wielomianu P i twierdzeniu Bézout udaje się też tak jak na lekcji, może przypomnę:

P(x)=(x-3)(x-1), a (x-3)(x-1)|W(x) => ((x-3)|W(x)  (x-1)|W(x)) => (W(3)=0  W(1)=0)

W(3) = 27-(a+b)*9-(a-b)*3+3 = 30-12a-6b
W(1) = 1-(a+b)*1-(a-b)*1+3 = 4-2a

Z drugiego NATYCHMIAST otrzymujemy a = 2 i wtenczas z pierwszego po krótkim namyśle: b = (30-24)/6 = 1.

Ta metoda za to działa niestety, tylko gdy uda się rozłożyć P(x)! :]

[podwójna] koniunkcja na cały nowy rok:
zdrowia, szczęścia, pomyślności! 

Zastosowanie logarytmów
Pierwsze wyszukiwanie   Drugie wyszukiwanie   Badanie diod półprzewodnikowych

Z001/2009. W ferie by ćwiczyć rozumowanie, raczcie rozwiązać takie równanie: (10x)+ (10+x) = x/3.

Z002/2009. A skoro czasu jest dużo w ferie, dorzucę jeszcze tę oto serię:	a(x) = m16x+0,25  3m(2)4x  2m
b(x) = 2mlg2x  3mlgx  2m
c(x) = 2mlog22|x|  3mlog2|x|  2m
d(x) = 2msin2x  3msinx  2m
e(x) = 2mcos4x  3mcos2x  2m
f(x) = 2mtg2x  3mtgx  2m
g(x) = 2mx100  3mx50  2m
h(x) = 2mx9  3mx3  2m
i(x) = 2mx14  3mx7  2m
j(x) = 2m(x232)  3m4(x232)  2m
(Zadanie owszem wcale nie nowe – ustal tych funkcji miejsca zerowe.
I niepotrzebna chyba podpowiedź: „Od m uzależnij odpowiedź”?)
Wystarczy chyba Waszej ochoty? – Nie ma tu bowiem wiele roboty!!

Z003/209. Czyż może istnieć lepsze zadanie niźli nierówność, względnie równanie? 
a) 

b) 
c) cos7x−17cos5x+16cos3x > 0
d) 
e) sinx−1 = |log2x|
f) (x−1+(x+2)) = 3
g) ((x+2)(x−5)) < 8−x

(Za zadania tego przyczyną pamiętaj: zawsze pomyśl nad dziedziną!)
Z004/2009. Tu wesołą przybierz minę i z uśmiechem znajdź dziedzinę:  log|x/2|(2x+1−cosx),  ln|ctgx|.
Z005/2009. I na mej twarzy uśmiech zagości, gdy odnajdziesz zbiór wartości:  ln|ctgx|,  coslog(−x4+8x2−15).
Z006/2009. A miast deseru proste pytanie: ile rozwiązań ma to równanie?  sinx = x/2
	Piotra J. to wina, że spytam również: jakaż jego dziedzina?
Z007/2009. Funkcji wzór  ustalmy taki: lg(4x+m2x+m−1). A wnet udręki Twe wszystkie przeminą,
gdy tyko stwierdzisz, dla emów jakich cały zbiór R jej jest dziedziną!
Z(22)2. Właściciel sklepu kupuje od producenta okulary z wycieraczkami po 100 zł za szt. i jeśli sprzedaje je po 111 zł, udaje mu się sprzedać 40 miesięcznie. Wyniki kosztownych badań marketingowych (którym wierzy dany sprzedawca) wskazują, że każde obniżenie ceny o złotówkę zwiększy miesięczną sprzedaż o 3 sztuki! Jaką cenę powinien ustalić ten handlowiec?
Z32. Ul. Viète’a biegnie południkowo i krzyżuje się pod kątem prostym z ul. Bézout na pl. de Morgana. Prof. Mizia jadący na zachód ze stałą prędkością vM = 40 km/h (Pan Profesor jeździ b. ostrożnie!) mija pl. de Morgana 2,5 min po srebrzystozielonym rolls-roysie z wołomińską rejestracją poruszającym się w kierunku południowym z prędkością vW = 120 km/h (!). Kiedy odległość Profesora od tego samochodu była najmniejsza? Ile z dokładnością do 1 m wyniosła?

Omówienie błędów, jakie popełnialiście przy ostatniej poprawie:
(Bez już nawet zwykłej złośliwości zapytam: czy ja naprawdę już o tym nie mówiłem?! Czy naprawdę za mało razy?!!)

0. Jeśli ktoś pisze, że z jakiejś nierówności coś wynika (ozn. ), to NIE JEST to jej rozwiązanie, chyba że wynika, że rozwiązań nie ma albo że potem sprawdzi się wszystkie (zazwyczaj nieskończenie wiele!), czy spełniają warunki zadania!...
Przecież z każdego warunku na x (nawet z takiego, którego żaden x nie spełnia – a w pewnym sensie z takiego warunku tym bardziej) wynika np., że xR lub że Paryż jest stolicą Francji! – Patrz zasady logiki matematycznej (dokładniej definicję implikacji) poznane w I kl.

Ad zad. 1 („Rozwiąż a) (2x5) > x3,  b) (2x3) > x5.”)
Czy rzeczywiście tak wielu z Was nadal myśli, że nierówność postaci f(x) > g(x), kiedy g(x)<0, jest równoważna f(x) > (g(x))2 albo czemuś jeszcze dziwniejszemu (ze zmianą kierunku nierówności czy też dostawieniem gdzieś jakiegoś minusa)??!
Przecież pomyślcie w takich razach choćby o nierówności x > -3. Jakie ma ona rozwiązanie? Czy ma ono jakikolwiek związek z liczbami 3, -3, 9 czy -9??!
Podobnie polecam wszystkim pomyśleć o nierównościach typu x < -1.

Dziedzina to zbiór (tych wartości zmiennych, dla których funkcja / jakieś wyrażenie / równanie / nierówność są określone)! Piszmy więc jednak, proszę: D = ...  (tu jakiś zbiór – może być przedział, R+, R\{0} i in.).

Pierwiastek kwadratowy może być zerem, bo liczbą podpierwiastkową może być zero. (Bo zero do kwadratu to przecież 00, czyli 0). Zatem zarówno dziedzina jak i zbiór wartości funkcji x to przedział [0,), czyli inaczej <0,) albo R+{0}, w każdym razie z zerem!!

W zadaniu należy rozpatrzyć wszystkie możliwe wartości parametru / zmiennej, tj. ewidentnym niedopatrzeniem jest np. uwzględnienie tylko przypadków  p1>0  i  p1<0, bo jeśli nic więcej o p nie mówimy, to możliwe jest przecież jeszcze  p1=0 (co zazwyczaj (choć nie zawsze) daje się włączyć do jednego z wcześniejszych założeń, zwykle (choć nie zawsze!) do któregokolwiek z nich).

Linijkę pod nierównością typu  x23x+2>0 bez sensu jest pisać x=1  x=2, bo ta alternatywa jest przecież równoważna równaniu, nie nierówności! Ponieważ przy nierównościach miejsc zerowych owszem potrzebujemy (ale to nie one są rozwiązaniem), można je oznaczać najlepiej x1 i x2.

Zdarzają się niestety wciąż osoby, które nie potrafią rozwiązać nierówności kwadratowej... (tzn. przy <0 zapominają już o popatrzeniu na współczynnik przy x2).

Ad zad. 2 („Dla jakich p funkcja  a(x)=(x+1)x+p,  b(x)=(x+1)xp  ma jednoelementowy zbiór miejsc zerowych?”)
Czy naprawdę nie rozumiecie, że podniesienie równania czy nierówności stronami często nie daje warunku równoważnego?? :/ Tzn. kiedy tak zrobimy, możemy otrzymać tzw. pierwiastki obce, tj. takie wartości zmiennej, które spełniają równanie / nierówność po podniesieniu do kwadratu, ale wyjściowe równanie / nierówność już nie! Z tym problemem można sobie radzić na różne sposoby, np. przez rozpatrzenie przypadków, uwzględnienie jakichś założeń, sprawdzenie, czy rozwiązania, które otrzymaliśmy, są rozwiązaniami oryginalnego zadania...
Zastanówcie się, jakie x i y spełniają podane równania, a co (i dlaczego) dałyby równania otrzymane z nich przez podniesienie stronami do kwadratu: x = 5, (x2) = 5, (x2) = 5, 9 = x, (x2) = x, (x2) = x, (x2) = |x|, x = y, x = y, x = y, x = y, x = y. Narysujcie wykresy ostatnich pięciu.

Kolejna sprawa to fakt, że niektórzy nie rozumieją pojęcia „parametr”. Przypomnę więc może, że np. „równanie z parametrem” x2+3x+2p=0 (*) to w rzeczywistości (nieskończenie) wiele równań, które otrzymuje się dla różnych wartości parametru p. O każdym z tych równań można coś powiedzieć, np. że ma mniej niż dwa rozwiązania (czyli w tym przykładzie jedno albo wcale, jak wiemy (a przynajmniej wiedzieć powinniśmy!) z bogatej teorii równań kwadratowych), że ma rozwiązanie ujemne, że wszystkie jego rozwiązania są większe niż -3 itd. Najczęściej dana cecha równania (*) zależy od wartości parametru, tzn. np. te równania (*) mają mniej niż dwa rozwiązania, w których p jest jakieś tam, ALE owo „jakieś tam” oznacza KONKRETNY WARUNEK na p, np. p=-1, p(-, 0). Bez sensu jest mówić, że (*) spełnia jakiś warunek, wtedy i tylko wtedy gdy p<x np., bo p od x nie zależy – jest parametrem całego równania – ono je de facto definiuje – i dopiero x, które coś spełnia, może zależeć od tegoż p (bo zależy przecież od równania).
Mówienie zatem, że coś zachodzi dla  p<x, jest tak samo bez sensu, jak stwierdzenie, że coś zachodzi, gdy np. 3 jest mniejsze od x! Przecież x może być w każdym równaniu otrzymanym dla różnych wartości parametru dowolną wartością z dziedziny (przy funkcji kwadratowej zatem każdą liczbą rzeczywistą), tylko niektóre x dane równanie (czy nierówność, warunek itp.) spełniają, a inne nie. Natomiast to, które to iksy owo równanie, nierówność czy jakiś warunek spełniają (czyli również to, ile ich jest, ile wynosi ich suma, czy wszystkie spełniające są niedodatnie itp.) – powtórzę – może zależeć od p, bo dla różnych p otrzymujemy różne równania! Jasne? :>

Jeszcze raz przypomnę też, że nie ma sensu mówienie (więc i pisanie w ogóle tego symbolu!) o delcie, kiedy nie mamy [jeszcze?] do czynienia z równaniem kwadratowym!

No i chciałbym, żeby każdy umiał narysować wykres każdej funkcji postaci (ax+b) (bo wie, jak wygląda y=x (bo wie, jak wygląda parabola (i że nie ma żadnego ostrza w wierzchołku!)), i umie przekształcać wykresy) i żeby każdy wiedział, że żaden wykres funkcji nie może mieć dwóch igreków dla jednego iksa oraz że np. x+x nie jest już funkcją pierwiastkową, więc nie ma powodu, by jej wykres był choćby w kawałku fragmentem paraboli (a do faktu, że rzeczywiście nie jest, też można dojść na Waszym poziomie wiedzy, choć po głębszym nieco namyśle)!

Ad zad. 3 („Podaj możliwe wartości sumy kwadratów pierwiastków wielomianu  A(x) = x2+2mx+m2m,  B(x) = x2+2mx+m2+m.”)
Każdy zgodzi się chyba, że sinx[-2,5), ale co to ma wspólnego ze zbiorem wartości sinusa??! Tylko tyle mianowicie (jak też chyba wszyscy rozumieją?), że ZWsin[-2,5), ale w zadaniu, gdzie należy ten ZW znaleźć, trzeba przecież ustalić, czemu on jest równy! A jeśli ktoś wciąż nie wpada na pisanie ZWf =..., do czego przecież już ze trzy razy namawiałem, to niech pisze jakieś myślniki np. (sinx – [-1,1]    2sinx – [-2,2]    ...), a odpowiedź słowami. Symbole (jak ) mają przecież konkretne, ustalone znaczenie! :]

Napis typu  jest w najlepszym dla Was razie niejednoznaczny! Jak wygląda on bowiem dla np. a = 4, c = 3? ! A to wcale nie 1,5, jak niektórzy z Was chcieliby go chyba rozumieć – nie oszczędzajcie więc na kropkach!! :]

Warto też nauczyć się w końcu rysować wykresy funkcji kwadratowych – z dobrze narysowanego można łatwo odczytać współrzędną p, a dzięki temu obliczyć q (bez żadnej delty!), co z kolei umożliwi już określenie zbioru wartości!

Na koniec jeszcze:
•	upraszczajcie wyniki! Często ułatwia / skraca to też obliczenia. Wstyd, jeśli nie wie się, że 8/2 daje się zapisać dużo prościej! (8 jest wygodniejszy tylko chyba do porównań, bo widać z tej postaci od razu (?), że to mniej niż 3, np.).
•	Pamiętajcie o wszystkich założeniach i dziedzinie! W zad. 1 np. były do rozpatrzenia dwa przypadki, jeden z nich dawał jakąś nierówność do rozwiązania, więc trzeba było uwzględnić jej rozwiązania spełniające założenie, dodać do tego zbiór x spełniających założenie drugiego przypadku (w którym wszystkie x spełniały daną nierówność), a sumę tych zbiorów jeszcze przekroić z dziedziną! Kolejność uwzględnienia i zapisywania tych kroków jest dość dowolna (w różnych zadaniach różnie może się opłacać), ale w każdym razie trzeba uwzględnić (i napisać, nawet jeśli nic to nie zmienia!) wszystkie.
•	Radziłem Wam zapisywać zbiorami (przedziałami) rozwiązania nierówności, jeśli jest ich więcej niż jedno (czyli zwykle chyba), tzn. pisać np. x(-; 3,5) zamiast x<3,5, ale kto przy zdrowych zmysłach pisze x{5} zamiast x=5?! Przy okazji jeszcze raz spróbuję wytępić zapisy typu (3, -), mylenie nawiasów odpowiadających różnym typom nierówności (i błędne albo niejasne zaznaczanie ich na osi – cokolwiek robisz, rób to porządnie! ) oraz używanie przecinka w sąsiedztwie ułamków dziesiętnych (jakim przedziałem jest (1,3,5)??).
•	Funkcja nie ma rozwiązań, tylko miejsca zerowe np., rozwiązania może mieć równanie, a równanie to zapis, w którym występuje znak równości (a nie np. 2x+1).
•	Jeśli już coś przybliżacie (choć najczęściej nie jest to sensowny sposób ustalenia jakiejś nierówności, a w każdym razie prościej jest zwykle zapisać inne rozumowanie), to róbcie to dobrze – cały czas używając tej samej dokładności i pamiętając o regułach zaokrąglania!
•	Myślcie, jak powinna wyglądać podpowiedź na pytanie w zadaniu. Często zawieracie w niej część rozumowania, które powinno być doprowadzone do końca i napisany tylko wniosek.
•	Sprawdzajcie chociaż z grubsza, czy to, co Wam wychodzi, ma sens. Warto sprawdzić, ile coś wynosi mniej więcej, bo wtedy da się zobaczyć, że np. jakiś pierwiastek wyszedł ujemny, że wartość mniejsza po odjęciu większej stała się dodatnia, że wierzchołek wypadł w jednym z dwóch miejsc zerowych albo że przy <0 znaleźliśmy dwa miejsca zerowe, albo że jedno założenie dało te same x co drugie, niby z nim sprzeczne, itp. Poza tym przez Wasze niedbałe rachowanie:
-	czasem zadanie się upraszcza, przez co nie dostajecie maks. punktów, bo nie wykazujące się umiejętnościami, za które punkty miały być przyznane (rozwiązujecie de facto coś całkiem innego),
-	najczęściej tracicie dużo czasu i energii na gmatwanie się w jakichś rachunkach, których zadanie w ogóle nie przewidywało,
-	w dodatku b. często przez to, że wychodzą Wam jakieś „krzywe” liczby, zadanie się utrudnia również koncepcyjnie, bo np. nie widać już czegoś na wykresie (miało być 2, a Wy macie   takie rzeczy widzę w zasadzie przy każdym Waszym sprawdzianie!...), coś znacznie trudniej się szacuje, delta zamiast ujemna wychodzi dodatnia i trzeba liczyć pierwiastki itp.

No, to chyba wystarczy?... Miłych zmagań z Matematyką życzę! 

Z10. Niech  f(n) = n3n,  g(n) = n3+5n,  h(n) = 7n1.
I. Udowodnij:  a) 6 | f(n)  6 | f(n+1),   b) 3 | g(n)  3 | g(n+1),   c) 3 | h(n)  3 | h(n+1)*.
* - Wsk.: tu jest już trochę inaczej niż dotychczas, więc podpowiadam, że  7n+1 = 7(7n1)+... (Co tu dopisać, by równość była prawdziwa? I dlaczego jest to wskazówka??)
II. Zauważ (= przelicz, np. na jakimś rączym kalkulatorku (choćby komputerowym), lub zadaj młodszemu rodzeństwu), że:  a) 6 | f(0),   b) 3 | g(0),   c) 3 | h(0).
Czy dzięki wykonanym wcześniej dowodom można  zatem stwierdzić, że nN
a) 6 | f(n),   b) 3 | g(n),   c) 3 | h(n) ?
Dlaczego? Zdajesz sobie sprawę, że WŁAŚNIE UŻYŁAŚ (lub -ŁEŚ – mniejsza o to!) twierdzenia o indukcji?! 
Z11. Teraz uważaj: za chwilę spróbuje udowodnić, że dla każdego nN(10,) zachodzi implikacja
n32n+3 > 10n2    (n+1)32(n+1)+3 > 10(n+1)2. – Śledź ze zrozumieniem! Jej (tej implikacji) następnik (to, co po strzałce ;p) jest równoważny (Sprawdź – mogłem się pomylić!) nierówności (Celowo nie redukuję wyrazów podobnych, a w zamian, jak widać, porządkuję nieco inaczej – czemu tak, okaże się już w następnej linijce!) (n32n+3)+3n2+3n+12 > 10n2+20n+10, a żeby wykazać, że wynika ona (ta nierówność) z poprzednika implikacji (tego, co przed strzałką ;p), wystarczy, że pokażę, że dla n11 zachodzi  3n2+3n+12 > 20n+10, czyli 3n217n11 > 0, a to już nierówność kwadratowa, więc każdy z przyjemnością rozwiąże, stwierdzając, mam nadzieję, że jest ona równoważna warunkowi . (Chociaż tu tym bardziej mogłem się pomylić...) Kluczowe w tym momencie staje się (To już prawie koniec – nie pękaj!), czy ten drugi przedział zawiera 11. Na szczęcie zawiera!  (Ale sprawdź – starannym, jak w I klasie, szacowaniem!) Czy widzisz, że to koniec dowodu? Uf, brawo!
Jeszcze tylko (obowiązkowy) deser: zauważ (= sprawdź, np. na rączym...), że nierówność  n32n+3 > 10n2  zachodzi dla n=11. A teraz wyciągnij wniosek: co można dzięki temu oraz udowodnionej przed chwilą implikacji powiedzieć o nierówności  n32n+3 > 10n2 ? 
(Podp.: można powiedzieć, że jest prawdziwa na pewno przynajmniej dla n... – właśnie: JAKICH?!)
Objaśnienia do zadań ze zbioru:
- 5.6.d) (Wykaż metodą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby naturalnej n  3 zachodzi nierówność: 5n1  2n2 + 1 (*).)
I Dla n = 3 nierówność (*) sprowadza się do 52  29 + 1, która jest prawdziwa.
II Wykażemy, że z (*) wynika nierówność 5(n+1)1  2(n+1)2 + 1, czyli teza indukcyjna (Ti):
5(n+1)1 = 55n1, a to jest na mocy (*) [czyli założenia indukcyjnego, Zi] nie mniejsze niż 5(2n2 + 1), czyli 10n2 + 5. Gdybyśmy pokazali teraz, że n  3  10n2 + 5  2(n+1)2 + 1, to udowodnimy Ti [jasne? – to jest bardzo ważny moment!].
10n2 + 5  2(n+1)2 + 1  8n2  4n +3  0, a że po lewej stronie otrzymaliśmy kwadratową funkcję zmiennej n o ujemnym wyróżniku () i dodatnim współczynniku przy n2, nierówność ta jest spełniona dla każdego n.
Kończy to dowód implikacji Zi  Ti, a zarazem, wraz z punktem I, dzięki zasadzie indukcji matematycznej – tezy całego zadania (patrz treść).
- 6.6 można rozwiązywać tak, żeby zapisać lewą stronę jako jakieś wyrażenie zawierające niewiadomą, które da jakieś równanie, które potraficie (mam nadzieję) rozwiązać (tutaj wielomianowe lub wymierne), a potem uwzględnić jeszcze dziedzinę (czyli wyrzucić z potencjalnych rozwiązań te, które dawałyby coś bez sensu w zadanym równaniu); np. 6.6.d) rozwiązałbym tak: 
z lewej jest 2n·(2n-1)·...·2·1/(3·2·1·(2n-3)!·(2n-4)!·...·2·1), czyli po skróceniu (przez co?) 2n·(2n-1)·(2n-2)/(3·2), a po następnym (przez co?) i uproszczeniu całego równania:
n(2n-1)(n-1)=180, czyli równanie trzeciego stopnia 2n^3-3n^2+n-180=0, a to już standardowo, choć niestety chyba trudno jest zauważyć jakiś rozkład prawej strony, a kandydatów na pierwiastki wymierne jest mnóstwo, bo licznikiem może przecież być ± 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90 i 180, a mianownikiem ± 1 i 2. Okazuje się, że n=5 jest rozwiązaniem, więc ewentualne dwa następne to pierwiastki ilorazu (2n^3-3n^2+n-180)/(n-5), czyli 2n^2+7n+36, a ten szczęśliwie nie ma miejsc zerowych. Ostatecznie więc jedynym rozwiązaniem równania 2n^3-3n^2+n-180=0 jest 5 i jest to również rozwiązanie zadania, bo dla n=5 równanie ma sens. (Na górze symbolu Newtona może być 10, gdy na dole stoi 3).
Uwaga: ten akurat przykład można rozwiązać sprytniej dzięki naszej wiedzy o symbolu Newtona. Lewą stroną równania jest bowiem bowiem czwarty element któregoś wiersza trójkąta Pascala, więc jeśli go sobie namalujemy (wystarczy tylko po cztery wyrazy w wierszu), to odkryjemy, że jedyny dobry jest w wierszu nr 10 (poniżej są mniejsze, a powyżej większe, co wynika z zasady konstrukcji trójkąta P., i trzeba o tym wspomnieć, jeśli chce się rozwiązać to tak cwanie!!). Zatem 2n=10, czyli n=5, i... koniec! Niestety jednak w wielu innych przykładach tak łatwo się nie da, a i w tym autorzy zbioru stawiali zapewne raczej na Wasze umiejetności rachunkowe, bo trójkąt P. następuje u nich później niż niż definicja symbolu N. i to zadanie... :]
- w 6.8 uwaga „Rozważ dwa przypadki” odnosi się do każdego podpunktu i należy ją rozumieć jako możliwość porządkowania wyrazów zgodnie z maleniem wykładnika potęgi jednego bądź drugiego składnika dwumianu. W 6.8.a) np. wyrazem trzynastym może być zatem (20 po 12)·sqrt(3)8·(1/30,25)12 (dlaczego tak?), czyli ... (tu należy poupraszczać te potęgi trójki), a gdy porządkować wyrazy odwrotnie, trzynasty będzie... Jasne? 
-  w 6.9 (pomocne może również w 6.8) drugi i trzeci wyraz to (n po 1) i (n po 2) albo (n po n-2) i (n po n-1), jednak z symetrii współczynnika N. (n po k = n po (n-k) - patrz trójkąt P.) wiemy, że oba przypadki wychodzą na to samo, a konkretnie na n+n(n-1)/2. Mamy więc do rozwiązania równanie n+n(n-1)/2=325 o dziedzinie N, a daje to chyba 25, czyli odpowiedzią jest „(25 po 9)·x2 lub (25 po 9)·x23, jeśli się nie mylę, bo to są możliwe siedemnaste wyrazy rzeczonego rozwinięcia (przy pisaniu ich w tę lub we w tę - (x^2)9·(1/x)16 albo odwrotnie). Jasne?

DOMOWE ZADANIA Z GRANIC CIĄGÓW
1. Jakie są granice ciągów danych wzorami: 5n^5-100n^4+13, 2n^3-113, log(n), pi^n, 4^(1/n), a^n (w zależności od a - rozpatrz wszystkie możliwości!), cos(1/n), sqrt(n), n^0,0001, n^2-sqrt(n), n+1/n, n^2+(-1)^n? 
2. Ciągi a i b dążą do nieskończoności. Jakie są możliwe zachowania w nieskończoności ciągu an/bn? A an-bn? 
3. Ustal granice wyrażeń (albo stwierdź, że nie istnieją): (-1)^n/n, 1/sin(1/n), ctg(-1/n), ln(1/n^2), 1/(-n^4+3n^3-10n+13), (2-3/n)(20+1/n^n)^(4^(sqrt(1/n)+tg(n*pi-1/n))), (-1)^n-2n^3, (0,5^n+3*0,4^n)^(1/n) i 1/(n^2/100+121cos(n/44)). 
4. Napisz definicję granicy lewostronnej, tj. napisz symbolami, co znaczy, że ciąg (an) dąży do [liczby] g z lewej.

ŚCIĄGA Z POCHODNYCH

Co o pochodnych wszyscy wiedzieć powinni:

Żeby funkcja była różniczkowalna (czyli istniała jej pochodna, czyli właściwa (czyli skończona) granica ilorazu różnicowego), musi być ciągła, ale nie każda funkcja ciągła jest różniczkowalna!

(JEDNORODNOŚĆ)

  (ADDYTYWNOŚĆ)

albo równoważnie jednym warunkiem:  (LINIOWOŚĆ)

Z geometrycznej definicji pochodnej  (ax + b)’ = a, z czego z kolei wynika, że  const' = 0, a  x’ = 1.

Co należy rozumieć, odczytując z kartki:

 (reguła łańcuchowa, w notacji „fizycznej” (Leibniza): )

Ponadto:

  (dla tych  i x, dla których obie strony mają sens)

Jakie funkcje powinniście np. umieć zbadać: (rozw. tu), x34x (rozw. tu).
A może ktoś znajdzie ekstrema funkcji: x(12x)2, (x2)2/3 (zob. tu, str. 84)? A kto znajdzie wymiary cylindrycznego (= w kształcie walca) pojemnika bez dekla, którego objętość ma wynosić 64, a powierzchnia być jak najmniejsza?
Można looknąć (ang.) też tu (w razie czego potłumaczę).

O CAŁKOWANIU

Powinniście:
•	umieć liczyć całki nieozn. (korzystając ze wzorów na pochodne) i oznaczone (w tym niewłaściwe) oraz rozumieć sens jednych i drugich,
•	umieć stosować całki (ergo: znać albo umieć odtworzyć odpowiednie wzory!) w kinematyce i do obliczania długości łuków oraz objętości i pól powierzchni brył obrotowych,
•	znać sens i własności funkcji Gaussa,
•	potrafić obliczyć moment bezwładności danej bryły / powierzchni / łuku (w I terminie sprawdzianu będzie do policzenia moment jakiegoś odcinka).

Dla sprawdzenia swoich umiejętności polecam weryfikację wyników w Maximie lub wolframalpha.com (w Internecie jest też mnóstwo artykułów o całkach wraz z ich różnorakimi listami) oraz obliczenie długości jakichś łuków (fragmentów wykresów znanych nam funkcji), objętości i pól powierzchni walca, stożka, kuli i pełnego torusa (można różnie je dzielić i sprawdzać, czy wychodzi to samo, zmieniać dane itp.); uwaga: mogą wychodzić całki, których policzenia ręcznie nie wymagam, natomiast powinno dać się je znaleźć z pomocą komputera.
Można również sprawdzić, czy przy przejściu w prawie Biota-Savarta do całkowania po kącie wyjdzie wzorek z Waszych tablic.
Podaję też wzory na:
– objętość bryły powstałej z obrotu wokół oY wykresu y = f(x) dla x(a,b): ,
– pole powierzchni bocznej takiej bryły: .
Drugi powinniście nawet umieć po chwili namysłu uzasadnić (pamiętając, jak wyprowadzaliśmy wzorek przy obracaniu wokół oX). Dowód pierwszego jest trudniejszy, ale Zainteresowanym mogę udzielić wskazówek czy nawet daleko idącej pomocy.
Ważniejsze, że wszyscy powinniście umieć dzięki tym wzorom (chociaż nie będę wymagał ich znajomości) wyliczyć te same objętości i pola co przy obrotach wokół oX. Warto to sprawdzić, bo mogą wyjść inne całki (trudniejsze lub łatwiejsze do policzenia), ale dające te same wyniki. Powodzenia!