1. Przestrzenie liniowe

Student zetknął się już z przykładami przestrzeni liniowych ${\mathbb{R}}^2$, ${\mathbb{R}}^3$ i ogólniej ${\mathbb{R}}^n$, gdzie $n\geq 4$. Operacje na wektorach w tych przestrzeniach, takie jak dodawanie wektorów i mnożenie wektorów przez skalar, mają wspólne własności. Używając tych działań na wektorach możemy we wszystkich przestrzeniach ${\mathbb{R}}^n$ w podobny sposób opisywać proste, płaszczyzny, hiperpłaszczyzny i inne geometryczne obiekty. Przestrzenie ${\mathbb{R}}^n$ są szczególnymi przykładami bardziej ogólnego pojęcia przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych ${\mathbb{R}}$.

Definicja 1.1   Przestrzenią liniową nad ${\mathbb{R}}$ nazywamy dowolny niepusty zbiór $V$, na którym określone są binarne działanie dodawania wektorów $+$ i unarne działania mnożenia wektorów przez skalary $t\in {\mathbb{R}}$, które spełniają aksjomaty L1-L8 dla wszystkich $v,w,u\in V$ oraz $r,s\in {\mathbb{R}}$.

L1.

$v+w=w+v$ (przemienność)

L2.

$v+(w+u)=(v+w)+u$ (łączność)

L3.

Istnieje element $O\in V$ (zwany wektorem zerowym) taki, że dla wszystkich $v\in V$ mamy $O+v=v+O=v$.

L4.

Dla każdego $v\in V$ istnieje $v'\in V$ taki, że $v+v'=v'+v=O$.

L5.

$r(v+w)=rv+rw$

L6.

$(r+s)v=rv+sv$

L7.

$r(sv)=(rs)v$

L8.

$1v=v$.

Elementy przestrzeni liniowej $V$ nazywamy wektorami. Ze względów historycznych, w kontekscie przestrzeni liniowych liczby rzeczywiste nazywamy skalarami. Wektor $tv$ (to jest wynik mnożenia wektora $v$ przez skalar $t$) nazywamy skalarną krotnością wektora $v$. Aksjomaty L1-L4 opisują własności dodawania wektorów w przestrzeni liniowej, zaś aksjomaty L5-L8 własności mnożenia przez skalary. Przestrzenie liniowe nad ${\mathbb{R}}$ nazywamy rzeczywistymi przestrzeniami liniowymi.

Gdy w definicji 1.1 zastąpimy ciało liczb rzeczywistych dowolnym ciałem $K$, dostaniemy definicję przestrzeni liniowej nad ciałem $K$. W szczególności można rozważać przestrzenie liniowe nad ciałem liczb zespolonych ${\mathbb{C}}$, zwane zespolonymi przestrzeniami liniowymi. Mówiąc o przestrzeniach liniowych będziemy mieli jednak na myśli przestrzenie liniowe nad ${\mathbb{R}}$, chyba że zaznaczymy inaczej.

Przykłady.

1. Wspomniane na wstępie przestrzenie ${\mathbb{R}}^n$ ze zwykłymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez skalary są najważniejszymi przykładami przestrzeni liniowych.

2. Przestrzeń wielomianów. W zbiorze ${\mathbb{R}}[X]$ wielomianów zmiennej $X$ mamy określone w naturalny sposób dodawanie wielomianów i mnożenie wielomianów przez skalary $t\in {\mathbb{R}}$ dane wzorami

$$\sum a_iX^i + \sum b_iX^i= \sum (a_i+b_i)X^i$$

$$t \sum a_iX^i = \sum (ta_i)X^i$$

Zbiór ${\mathbb{R}}[X]$ wraz z tymi działaniami tworzy przestrzeń liniową wielomianów zmiennej $X$. Podobnie określamy przestrzeń liniową ${\mathbb{R}}[X,Y]$ wielomianów zmiennych $X,Y$ oraz przestrzenie liniowe wielomianów większej liczby zmiennych.

3. Przestrzeń funkcji ciągłych. Niech $C({\mathbb{R}})=\{f:{\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}: f$ jest ciągła$\}$ będzie zbiorem funkcji ciągłych na ${\mathbb{R}}$. Dla funkcji $f,g\in C({\mathbb{R}})$ oraz skalara $t\in {\mathbb{R}}$ definiujemy funkcje $f+g$ oraz $tf$ w następujący sposób.

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x), (tf)(x)=t\cdot f(x)$$

$f,g$ są ciągłe, zatem również $f+g$ i $tf$ są funkcjami ciągłymi, czyli należą do zbioru $C({\mathbb{R}})$. W ten sposób na zbiorze $C({\mathbb{R}})$ określiliśmy działania dodawania $+$ i mnożenia przez skalary $t$. Zbiór $C(X)$ z tak określonymi działaniami tworzy przestrzeń liniową nad ${\mathbb{R}}$.

Załóżmy teraz, że $V$ jest ustaloną przestrzenią liniową. Dla oswojenia czytelnika z tym pojęciem wyciągniemy teraz kilka prostych wniosków z aksjomatów L1-L8.

Uwaga 1.2 (1)   $O$ jest jedynym wektorem z $V$ takim, że $v+O=O+v=v$ dla wszystkich $v\in V$ (tzn. $O$ jest elementem neutralnym dodawania wektorów).
(2) Dla każdego $v\in V$ istnieje jedyny wektor $v'\in V$ taki, że $v+v'=v'+v=O$ ($v'$ nazywamy wektorem przeciwnym do $v$, oznaczamy go przez $-v$).

Dowód. (1) Załóżmy, że $O'\in V$ spełnia $v+O'=O'+v=v$ dla wszystkich $v\in V$. W szczególności równości te zachodzą dla $v=O$, więc mamy

$$O=O+O'.$$

Z założenia, dla wszystkich $v\in V$ mamy $O+v=v$, w szczególności dla $v=O'$ dostajemy

$$O+O'=O'.$$

Zatem $O=O'$.

(2) Niech $v\in V$. Na mocy L4 istnieje wektor $v'\in V$ taki, że $v+v'=v'+v=O$. Załóżmy, że $v''\in V$ również spełnia równości $v+v''=v''+v=O$. Wtedy, korzystając z aksjomatów L1-L8 dostajemy

$$v'=O+v'=(v''+v)+v'=v''+(v+v')=v''+O=v''.$$

Widzimy więc, że wektor $v'$ taki, jak w (2) jest jedyny.

Podobnie jak w przypadku przestrzeni ${\mathbb{R}}^n$ w abstrakcyjnej przestrzeni $V$ definiujemy odejmowanie wektorów wzorem

$$v-w=v+(-w).$$

Uwaga 1.3   $v-w$ jest jedynym wektorem $u$ takim, że

$(*)$

$u+w=v$.

Dowód. (a) Niech $u=v-w$. Korzystając kolejno z definicji odejmowania wektorów, z łączności dodawania wektorów, z aksjomatów L3 i L4 dostajemy:

$$u+w=(v-w)+w=(v+(-w))+w=v+((-w)+w)=v+O=v.$$

Widzimy więc, że wektor $u=v-w$ spełnia $(*)$.

(b) Na odwrót, załóżmy, że wektor $u$ spełnia $(*)$. Pokażemy, że $u=v-w$. $(*)$ implikuje, że

$$(u+w)+(-w)=v+(-w).$$

Ale

$$(u+w)+(-w)=u+(w+(-w))=u+O=u.$$

Dlatego

$$u=v+(-w)=v-w.$$

Uwaga 1.4   Dla $v\in V$ i $t\in {\mathbb{R}}$ mamy

$$tv=O\iff t=0\mbox{ lub } v=O.$$

Dowód. $\Leftarrow$. Pokażemy, że

(a)

$tO=O$ i

(b)

$0v=O$ dla wszystkich $v\in V$ i $t\in R$.

Istotnie, $tO=t(O+O)=tO+tO$, czyli

$$tO=tO+tO.$$

Odejmując od obu stron tej równości wektor $tO$ dostajemy $O=tO$, dowodząc (a). Dowód punktu (b) jest podobny.

Z (a) i (b) wynika natychmiast implikacja $\Leftarrow$ w uwadze 1.4.

$\Rightarrow$. Załóżmy, że $tv=O$ i $t\neq 0$. Następujący ciąg równości pokazuje, że wówczas $v=O$.

$$v=1v=(t^{-1}t)v=t^{-1}(tv)=t^{-1}O=O.$$

Ostatnia równość zachodzi na mocy (a).

Uwaga 1.5   $-v=(-1)v$.

Dowód. Na mocy uwagi 1.3 wystarczy pokazać, że $v+(-1)v=O$. Korzystając z aksjomatów L1-L8 i poprzedniej uwagi dostajemy

$$v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=O.$$

Rozważmy teraz dowolną płaszczyznę $\Pi$ w przestrzeni ${\mathbb{R}}^3$, zawierającą $O$. łatwo sprawdzić, że wraz z każdymi dwoma wektorami $X,Y\in \Pi$ płaszczyzna ta zawiera ich sumę $X+Y$, jak również dowolną skalarną krotność $X$. Co więcej, $\Pi$ jest sama w sobie przestrzenią liniową, względem działań przestrzeni ${\mathbb{R}}^3$. Dlatego $\Pi$ nazywamy podprzestrzenią przestrzeni ${\mathbb{R}}^3$. Ogólnie wprowadzamy następującą definicję.

Definicja 1.6   Niepusty podzbiór $W$ przestrzeni liniowej $V$ nazywamy podprzestrzenią (liniową) przestrzeni $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą następujące warunki.
(1) Dla wszystkich $v,w\in W, v+w\in W$ (zamkniętość względem dodawania wektorów).
(2) Dla wszystkich $v\in W$ i $t\in {\mathbb{R}}, tv\in W$ (zamkniętość względem mnożenia przez skalary).

Rysunek: Podprzestrzeń liniowa $W$ przestrzeni $V$

Uwaga 1.7   Niech $W$ będzie niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej $V$. Wówczas $W$ jest podprzestrzenią $V\iff W$ jest przestrzenią liniową względem działań przestrzeni $V$ (ograniczonych do $W$).

Dowód. ćwiczenie.

Najprostszymi przykładami podprzestrzeni przestrzeni liniowej $V$ są: podprzestrzeń zerowa $\{O\}$ i cała przestrzeń $V$. $V$ nazywamy podprzestrzenią niewłaściwą przestrzeni $V$. Każdą podprzestrzeń przestrzeni $V$ różną od $V$ nazywamy podprzestrzenią właściwą.

Uwaga 1.8   Jeśli $W$ jest podprzestrzenią $V$, to wektor zerowy przestrzeni $V$ należy do $W$, tzn. $O\in W$.

Dowód. $W\neq\emptyset$ z założenia. Niech $v$ będzie pewnym wektorem z $W$. Wtedy na mocy definicji 1.6, $O=0v\in W$.

Przykłady.

1. Płaszczyzna $\Pi\subset {\mathbb{R}}^3$ przechodząca przez $O$ jest podprzestrzenią ${\mathbb{R}}^3$. Jednak na mocy uwagi 1.8 widzimy, że żadna płaszczyzna w ${\mathbb{R}}^3$ nieprzechodząca przez $O$ nie jest podprzestrzenią ${\mathbb{R}}^3$.

2. Niech ${\mathbb{R}}_n[X]$ oznacza zbiór wielomianów rzeczywistych zmiennej $X$ stopnia $\leq n$. Wówczas ${\mathbb{R}}_n[X]$ jest podprzestrzenią przestrzeni ${\mathbb{R}}[X]$. W szczególności, ${\mathbb{R}}_n[X]$ sam w sobie jest przestrzenią liniową. Jednak np. zbiór $Z[X]$ wielomianów o współczynnikach calkowitych nie jest podprzestrzenią ${\mathbb{R}}[X]$.

Jak zobaczymy za chwilę, z pojęciem podprzestrzeni liniowej blisko związane jest pojęcie kombinacji liniowej wektorów.

Definicja 1.9   Kombinacją liniową wektorów $v_1,\dots,v_n\in V$ nazywamy dowolny wektor postaci $t_1v_1+\cdots +t_nv_n$, gdzie $t_1,\dots,t_n\in {\mathbb{R}}$.

Kombinacje liniowe jednego wektora $v\in V$ to po prostu skalarne krotności tego wektora.

Przykłady.

1. Niech $X\in {\mathbb{R}}^n$ będzie różny od $O$. Wówczas skalarne krotności wektora $X$ tworzą prostą wzdłuż wektora $X$ (zwaną też prostą generowaną przez $X$.

2. Niech $X,Y\in {\mathbb{R}}^3$ będą liniowo niezależne (tzn. nie leżące na jednej prostej przechodzącej przez $O$). Wówczas liniowe kombinacje $tX+rY,t,r\in {\mathbb{R}}$ wektorów $X,Y$ tworzą płaszczyznę generowaną przez wektory $X,Y$.

Definicja 1.10   Dla niepustego zbioru $A\subset V$ zbiór wszystkich liniowych kombinacji wektorów z $A$ oznaczamy przez $Lin(A)$, tzn.

$$Lin(A)=\{\sum_{i=1}^nt_iv_i:t_i\in {\mathbb{R}},v_i\in A,n\in N\}.$$

Dla $A=\emptyset$ przyjmujemy $Lin(\emptyset)=\{O\}$, tzn. traktujemy wektor $O$ jako kombinację liniową 0 wektorów. Zbiór $Lin(A)$ nazywamy liniowym domknięciem zbioru $A$.

Twierdzenie 1.11   $Lin(A)$ jest najmniejszą podprzestrzenią przestrzeni $V$ zawierającą zbiór $A$ (dlatego nazywamy ją podprzestrzenią $V$ generowaną przez $A$).

Dowód. Najpierw sprawdzimy, że $Lin(A)$ jest podprzestrzenią $V$. W tym celu sprawdzamy warunki definicji 1.6. Suma dwóch kombinacji liniowych wektorów z $A$ jest nadal kombinacją liniową wektorów z $A$ (zazwyczaj dłuższą), zatem zbiór $Lin(A)$ jest zamknięty względem dodawania wektorów. Podobnie widać, że $Lin(A)$ jest zamknięty względem mnożenia przez skalary.

Pozostaje pokazać, że $Lin(A)$ jest najmniejszą podprzestrzenią $V$ zawierającą $A$. W tym celu przypuśćmy, że $W\subset V$ jest podprzestrzenią $V$ zawierającą $A$. Pokażemy, że $Lin(A)\subset W$. Istotnie, $W$ jest zamknięta względem dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez skalary. Dlatego wraz z każdym układem wektorów $v_1,\dots,v_n\in W$ dowolna liniowa kombinacja tych wektorów również należy do $W$. Mamy $A\subset W$, więc $Lin(A)\subset W$.

Przykład.

Niech $X,Y\in {\mathbb{R}}^3$ będą liniowo niezależne. Wtedy $Lin(X,Y)=\{tX+rY:t,r\in {\mathbb{R}}\}$ jest płaszczyzną generowaną przez $X,Y$ w ${\mathbb{R}}^3$, zaś $Lin(X)$ to prosta generowana przez $X$.

Proste w przestrzeni ${\mathbb{R}}^2$ zawierające $O$ to podprzestrzenie ${\mathbb{R}}^2$. Przyjrzyjmy się teraz prostym w przestrzeni ${\mathbb{R}}^2$, które nie zawierają $O$. Każda taka prosta $L'\subset {\mathbb{R}}^2$ powstaje przez przesunięcie pewnej prostej $L\subset {\mathbb{R}}^2$ zawierającej $O$ o pewien wektor $X\in {\mathbb{R}}^2$. Możemy wtedy napisać

$$L'=X+L.$$

Zauważmy, że dla ustalonej prostej $L$ przechodzącej przez $O$, proste postaci $X+L,X\in {\mathbb{R}}^2$ tworzą rodzinę prostych równoległych pokrywających całą przestrzeń ${\mathbb{R}}^2$. Traktując prostą $L$ jako podprzestrzeń ${\mathbb{R}}^2$, w algebrze liniowej proste postaci $X+L,X\in {\mathbb{R}}^2$, nazywamy warstwami podprzestrzeni $L$.

Ogólnie, dla zbiorów $A,B\subset V$ definiujemy ich sumę kompleksową jako zbiór

$$A+B=\{v+w:v\in A,w\in B\}.$$

Gdy zbiór $A$ składa sie z jednego wektora $v$, zamiast $A+B$ piszemy $v+B$. Podobnie, dla liczby $t\in {\mathbb{R}}$ definiujemy $tA$ jako zbiór $\{tv:v\in A\}$.

Definicja 1.12   Niech $W$ bedzie podprzestrzenią $V$, zaś $v$ dowolnym wektorem $V$. Zbiór postaci $v+W$ nazywamy warstwą podprzestrzeni $W$ w przestrzeni $V$.

Rysunek 1.2: Warstwa $v+W$ podprzestrzeni $W$

Uwaga 1.13   1) Jeśli $A\subset V$ jest warstwą $W$ w $V$, to $A=v+W$ dla dowolnego $v\in A$.
(2) Dwie warstwy podprzestrzeni $W$ w $V$ są równe lub rozłączne.
(3) $V$ jest rozłączną sumą warstw podprzestrzeni $W$.

Dowód. (1) Załóżmy, że $A\subset V$ jest warstwą podprzestrzeni $W$, tzn. $A=v_0+W$ dla pewnego $v_0\in V$. Niech $v\in A$. Pokażemy, że $A=v+W$, tzn. $v+W=v_0+W$.

Skoro $v\in A=v_0+W$, to $v=v_0+w_0$ dla pewnego $w_0\in W$. Mamy więc $v_0=v-w_0$. Pokażemy najpierw, że $v+W\subset v_0+W$.

Niech $u\in v+W$. Zatem dla pewnego $w\in W$ mamy

$$u=v+w=(v_0+w_0)+w=v_0+(w_0+w)\in v_0+W,$$

gdyż wektor $w_0+w\in W$ ($W$ jest podprzestrzenią).

Podobnie sprawdzamy, że $v_0+W\subset v+W$.

(2) Załóżmy, że $A$ i $B$ są dwiema warstwami $W$ w $V$. Jeśli $A$ i $B$ nie są rozłączne, to istnieje wektor $v\in A\cap B$. Wtedy na mocy (1) dostajemy $A=v+W=B$.

(3) Dowolny wektor $v\in V$ należy do warstwy $v+W$, zatem warstwy takie pokrywają całą przestrzeń $V$.

Warstwy podprzestrzeni będą przydatne przy rozwiązywaniu układów równań liniowych. W tym miejscu warto jeszcze wspomnieć o pewnym przykładzie przestrzeni liniowej związanym z warstwami. Mianowicie niech $W$ będzie podprzestrzenią przestrzeni $V$. Przez $V/W$ oznaczmy zbiór warstw podprzestrzeni $W$ w przestrzeni $V$.

Uwaga 1.14   Zbiór warstw $V/W$ z działaniami dodawania kompleksowego i mnożenia przez skalary $t(v+W)=tv+W$ jest przestrzenią liniową. Wektorem zerowym jest warstwa $O+W=W$.

Dowód. ćwiczenie. Dla $t\neq 0$ mnożenie przez skalar $t$ w przestrzeni $V/W$ zgadza się z działaniem określonym przed definicją 1.12.

Przestrzenie postaci $V/W$ nazywamy przestrzeniami ilorazowymi.