ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 10

Niech X będzie przestrzenią topologiczną.

1. Pokazać, że ciąg snopów 0 → F → H → G → 0 jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ X ciąg 0 → F_{x} → H_{x} → G_{x} → 0 jest dokładny.

2. Dla morfizmów snopów f, g : F → G pokazać, że jeśli dla każdego x ∈ X f_{x} = g_{x}, to f = g.

3. Dla F : A → B funktora addytywnego pomiędzy kategoriami abelo-

wymi, X ∈ A i rezolwenty F-acyklicznej

0 → X → A_{0} → A_{1} → …,

R^{n}F(A), to n-te kohomologie kompleksu

0 → F (A_{0}) → F (A_{1}) → …

(użyć długiego ciągu dokładnego funktorów pochodnych).

4. Pokazać, że jeśli mamy ciąg dokładny snopów 0 → F → H → G → 0, w którym F i H są miękkie, to G jest też miękki.

5. Pokazać, że każdy snop injektywny jest miękki.

6. Podać równoważną definicję morfizmu wiązek używając tylko funkcji przejścia.

7. Używając funkcji przejścia zdefiniować sumę prostą i iloczyn tensorowy wiązek.