ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 3

1. Uzupełnić dowód równoważności dwóch definicji produktu, czyli pokazać, że:

(a) f odpowiadające (f_{X}, f_{Y}) jest jedyne i odpowiedni diagram jest przemienny.

(b) Element (π_{X}, π_{Y}) ∈ F (Z) odpowiada izomorfizmowi funktorów.

2. Udowdodnić istnienie funktorialnego izomorfizmu (w kategorii, która

ma produkty)

X × (Y × Z) ≅ (X × Y) × Z.

3. Napisać diagramy definiujące:

(a) Kogrupę w kategorii

(b) Morfizm (ko)grup w kategorii

4. Załóżmy, że kategoria C ma produkty. Pokazać, zę:

(a) Produkt grup w kategorii ma strukturę grupy w kategorii.

(b) Kategoria Grp _{C} ma produkty i pokrywają się one (po zapomnieniu struktury grupy w kategorii) z produktami w C.

(c) Dowolny funktor F : C → D zachowujący produkty, zachowuje też produkty jako funktor F : Grp _{C} → Grp _{D}.

5. Udowodnić, że funkcja “ściągnięcia równika” zadaje strukturę H-kogrupy (tzn. kogrupy w Toph _{∗}) na sferze n-wymiarowej (n > 0).