ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 4

1. Niech (G, m, i, e) i (G′, m′, i′, e′) będą grupami w kategorii C. Używając lematu Yonedy pokazać, że:

(a) i oraz e są jedynymi morfizmami dla których odpowiednie diagramy z definicji grupy w kategorii są przemienne.

(b) Jeśli morfizm f : G → G′zachowuje m, to f jest morfizmem grup w kategorii C, tzn. f zachowuje też i oraz e.

2. Udowodnić, że grupy w kategorii grup to dokładnie grupy abelowe, tzn. jeśli mamy grupę (G, ·), która ma dodatkową strukturę (m, i, e) grupy w kategorii grup , to m = ·, i to branie elementu odwrotnego w (G, ·), e to element neutralny w (G, ·) i G jest abelowa.

3. Udowodnić, że Ω i S (odpowiednio zinterpretowane) są funktorami w kategorie H-grup i H-kogrup.

4. Dla następujących funktorów znaleźć funktory do nich dołączone (z lewej lub prawej).

(a) Funktor uzupełnienia przestrzeni metrycznej.

(b) Funktor zapominania z grup abelowych do półgrup abelowych.

(c) Funktor zapominania z Alg_{R} do Mod _{R}.

(d) Funktor zapominania z Mod _{R} do Set .