ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 7

A jest kategorią abelową.

1. Jeśli A ma dostatecznie dużo obiektów projektywnych (injektywnych), to każdy obiekt ma rezolwentę projektywną (injektywną).

2. Udowodnić, że R-moduł M jest projektywny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje R-moduł N, taki że M ⊕ N jest wolny.

3. Niech f : M → N będzie morfizmem, X_{∗} → M kompleksem obiektów projektywnych (poza M) i P_{∗} → N rezolwentą projektywną. Wtedy f przedłuża się do morfizmu kompleksów

f_{∗} : (X_{∗} → M) → (P_{∗} → N).

4. Pokazać, że dla każdego n, H^{n} jest funktorem z Kom(A) (kategoria kompleksów (kołańcuchów) obiektów A) do A.

5. Morfizmy kompleksów f_{∗}, g_{∗} : (X_{∗}, d_{∗}) → (Y_{∗}, δ_{∗}) są homotopijne (oznaczenie f_{∗} ∼ g_{∗}), gdy istnieją (s_{i} : X_{i} → Y_{i+1} )_{i∈ℤ} takie, że dla każdego i,

f_{i} − g_{i} = δ_{i+1} s_{i} + s_{i−1} d_{i}.

Udowodnić, że jeśli f_{∗} ∼ g_{∗}, to dla każdego n, H_{n}(f_{∗}) = H_{n}(g_{∗}).

6. Udowodnić, że jeśli w zadaniu 2. mamy dwa przedłużenia

f_{∗}, f′_{∗}: (X_{∗} → M) → (P_{∗} → N),

to f_{∗} ∼ f′_{∗}.

7. Udowodnić Twierdzenie 1, tzn. że definicja funktorów pochodnych nie zależy od wyboru rezolwenty.