ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 8

A jest kategorią abelową.

1. Lemat o 5 (5-Lemma)Pokazać, że dla diagramu przemiennego w A

A_{1} −−⟶ A_{1} −−⟶ A_{3} −−⟶ A_{4} −−⟶ A_{5}
α_{1} ↓  ^{β_{1}} ↓  ^{γ}↓  ↓^{β_{2}}  ^{α_{2}} ↓
B_{1} −−⟶ B_{2} −−⟶ B_{3} −−⟶ B_{4} −−⟶ B_{5} ,

jeśli β_{1}, β_{2} to izomorfizmy, α_{1} to epimorfizm, α_{2} to monomorfizm i wiersze są acykliczne poza A_{1}, A_{5}, B_{1}, B_{5}, to γ jest izomorfizmem.

2. Ker-Coker Lemma Weźmy diagram przemienny w A

0 −−⟶ A −−⟶ B −−⟶ C −−⟶ 0
↓  ^{α} ↓  ^{β} ↓  ↓^{γ}  ↓
0 −−⟶ A′ −−⟶ B′ −−⟶ C′ −−⟶ 0 ,

w którym górny rząd jest acykliczny poza A i dolny rząd jest acykliczny poza C′. Udowodnić, że istnieje morfizm δ : ker(γ) → coker(α) taki, że następujący ciąg jest acykliczny poza ker(α) i coker(γ)

ker(α) −−⟶ ker(β) −−⟶ ker(γ) −−⟶^{δ} coker(α) −−⟶ coker(β) −−⟶ coker(γ)

3. Niech 0 → X_{∗} → Y_{∗} → Z_{∗} → 0 będzie krótkim ciągiem dokładnym kompleksów cykli w A dla których wszystkie obiekty o indeksach ujemnych są zerowe. Udowodnić, że istnieje długi ciąg dokładny

⋯→ H_{2}(Z_{∗}) → H_{1}(X_{∗}) → H_{1}(Y_{∗}) → H_{1}(Z_{∗}) → H_{0}(X_{∗}) → H_{0}(Y_{∗}) → H_{0}(Z_{∗}) → 0.

4. Udowodnić, że jeśli mamy ciąg dokładny 0 → X → X′′→ X′ → 0 w A i rezolwenty projektywne, P_{∗} → X i P′_{∗} → X′, to istnieje rezolwenta projektywna P_{∗} ⊕ P′_{∗} → X′′.

5. Udowodnić, że dowolny funktor addytywny zachowuje sumę prostą.

6. Udowodnić Twierdzenie 3 z wykładu (o długim ciągu dokładnym lewych funktorów pochodnych (bez jednoznaczności i funktorialności)).

7. Niech R będzie pierścieniem przemiennym z 1 i weźmy x ∈ R, który nie jest dzielnikiem zera. Udowodnić, że

Tor_{1}^{R}(R/x, M) = {m ∈ M|xm = 0}.