ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 11

Pewne proste zastosowania kohomologii grup

Uwaga Gdy mówimy o G-modułach (zawsze lewych!), to pojęcie ℤ-modułu może być mylące – znaczenie może być klasyczne, tzn. ℤ-moduł, to grupa abelowa lub jeśli ℤ rozumiemy jako grupę, to ℤ-moduł można by rozumieć też jako ℤℤ-moduł. Zawsze jednak będziemy mieli na myśli klasyczne znaczenie, tzn. ℤ-moduł jest po prostu grupą abelową czyli w terminach G-modułów jest {1}-modułem.

Lemat Niech A i B będą G-modułami, gdzie G jest grupą skończoną. Wtedy:

1. Jeśli

α := ∑_{g∈G} g ∈ ℤG,

to dla każdego a ∈ A, mamy αa ∈ A^{G}.

2. Hom_{ℤ}(A, B) jest G-modułem z działaniem

(gf)(a) = gf(g^{−1} a) i Hom_{ℤ}(A, B)^{G} = Hom_{G}(A, B).

Dowód

1. wynika z tego, że dla każdego g ∈ G mamy gα = α, a 2. jest oczywiste.

Twierdzenie Jeśli G jest grupą skończoną rzędu n i A jest G-modułem, to mnożenie przez n jest funkcją zerową na H^{n}(G, A) dla n 1. W szczególności jeśli A jest skończony, rzędu względnie pierwszego z n, to H^{n}(G, A) = 0 dla n 1. Dowód Weźmy wolną G-rezolwentę ℤ

⋯→ F_{1} → F_{0} → ℤ → 0.

Wtedy jest to również wolna rezolwenta w kategorii ℤ-modułów (bo grupa addytywna ℤG jest wolnym ℤ-modułem), czyli jest to wolna {1}-rezolwenta.

Rozważmy następujący diagram przemienny kompleksów

0 −−⟶ Hom_{G}(A, F_{0}) −−⟶ Hom_{G}(A, F_{1}) −−⟶ …
↓  ↓^{⊆}  ↓^{⊆}  ↓^{...}
0 −−⟶ Hom_{ℤ}(A, F_{0}) −−⟶ Hom_{ℤ}(A, F_{1}) −−⟶ …
↓  ↓^{α·}  ↓^{α·}  ↓^{...}
0 −−⟶ Hom_{G}(A, F_{0}) −−⟶ Hom_{G}(A, F_{1}) −−⟶ …,

gdzie α jest jak w lemacie stąd faktycznie obrazem mnożenia przez α są G-homomorfizmy. Kohomologie pierwszego i trzeciego kompleksu dają kohomologie G o współczynnikach w A, a kohomologie drugiego kompleksu dają kohomologie grupy trywialnej o współczynnikach w A. Zinterpretujemy teraz złożenie dwóch pionowych strzałek z diagramu jako funkcję

ϕ : Hom_{G}(A, F_{n}) → Hom_{G}(A, F_{n}), n 0.

Dla f ∈ Hom_{G}(A, F_{n}) i a ∈ A mamy

ϕ(f)(a) = ∑_{g∈G} gf(g^{−1} a) = ∑_{g∈G} f(a) = nf(a) = f(na).

Czyli

H^{n}(ϕ) : H^{n}(G, A) → H^{n}(G, A)

pokrywa się z funkcją na H^{n}(G, A) indukowaną przez mnożenie przez n w A. Ponieważ funktor

H^{n}(G, ·) : G−moduły → G−moduły

jest addytywny, to ta funkcja jest po prostu mnożeniem przez n w H^{n}(G, A). Z drugiej strony funkcja ta jest złożeniem pewnych funkcji

H^{n}(G, A) → H^{n}({1}, A) → H^{n}(G, A).

Ale H^{n}({1}, A) = 0 dla n 1 (bo 0 → ℤ → ℤ → 0 jest również ℤ-rezolwentą ℤ), stąd mnożenie przez n jest funkcją zerową na H^{n}(G, A) dla n 1. Jeśli A jest rzędu skończonego względnie pierwszego z n, to mnożenie przez n na A jest automorfizmem (z opisu skończonych grup abelowych). Stąd indukowana przez to mnożenie funkcja na H^{n}(G, A) jest również automorfizmem, czyli H^{n}(G, A) = 0 dla n 1.

Wniosek 1 Załóżmy, że E jest skończoną grupą i |E| = mn, gdzie m i n są względnie pierwsze. Jeśli E zawiera przemienną podgrupę normalną A rzędu n. Wtedy E zawiera podgrupę rzędu m i dowolne dwie takie podgrupy są sprzężone poprzez automorfizm wewnętrzny pochodzący od elementu z A. Dowód Niech G = E i mamy rozszerzenie

(∗) 0 −−⟶ A −−⟶ E −−⟶^{ψ} G −−⟶ 1 .

Z poprzedniego twierdzenia H^{2}(G, A) = 0, stąd powyższe rozszerzenie się rozszczepia (z odpowiedniości pomiędzy równoważnymi klasami rozszerzeń a H^{2}(G, A)) poprzez ϕ : G → E. Stąd ϕ(G) jest podgrupą rzędu m w E. Jeśli H jest inną podgrupą rzędu m w E, to ψ|_{H} jest izomorfizmem pomiędzy H i G, bo ker(ψ|_{H}) = H ∩ A, czyli rząd ker(ψ|_{H}) dzieli n i m, stąd ker(ψ|_{H}) jest trywialne. Niech teraz ϕ_{H} := (ψ|_{H})^{−1} , czyli ϕ_{H} jest również rozszczepieniem (∗). Korzystając ponownie z poprzedniego twierdzenie dostajemy H^{1}(G, A) = 0. Z interpretacji H^{1}(G, A) mamy, że ϕ_{H} i ϕ są sprzężone poprzez element z A, tzn. istnieje a ∈ A takie, że dla każdego g ∈ G mamy ϕ(g) = a^{−1} ϕ_{H}(g)a. Stąd ϕ(G) = a^{−1} Ha.

Uwaga Wniosek jest również prawdziwy dla dowolnej A (tzn. niekoniecznie przemiennej).

Wiemy, że H^{2}(G, ·) jest funktorem z kategorii G-modułów w siebie. Zinterpretujemy go teraz na rozszerzeniach G przez A. Weźmy homomorfizm G-modułów f : A → A′ i rozszerzenie

0 → A → E → G → 1.

Jeśli teraz E′:= E ∗_{A} A′ jest iloczynem wolnym grup (w języku teorii kategorii E′ jest koproduktem włóknistym w kategorii grup) nad A, to mamy E′/A′ ≅ E/A i stąd homomorfizm G-modułów E′→ G taki, że następujący diagram jest przemienny

0 −−⟶ A −−⟶ E −−⟶ G −−⟶ 1
↓  ↓^{α}  ↓  ↓^{id}_{G}  ↓
0 −−⟶ A′ −−⟶ E′ −−⟶ G −−⟶ 1

Łatwo udowodnić następujący Fakt Obrazem górnego rozszerzenia w diagramie poprzez funkcję indukowaną przez α jest dolne rozszerzenie w diagramie.

Wniosek 2 Niech E będzie grupą i C jej centralną podgrupą skończonego indeksu n. Wtedy istnieje homomorfizm E → C taki,że jego obcięcie do C jest mnożeniem przez n. Dowód Niech G = E. Rozważmy rozszerzenie

(∗) 0 −−⟶ C −−⟶ E −−⟶^{ψ} G −−⟶ 1 .

Z twierdzenia, mnożenie przez n jest zerowe na H^{2}(G, C), stąd mnożenie przez n na C przenosi rozszerzenie (∗) na rozszerzenie trywialne. Z powyższego faktu następujący diagram, jest przemienny

0 −−⟶ C −−⟶ E −−⟶ G −−⟶ 1
↓  ↓^{n·}  ↓  ↓^{id}_{G}  ↓
0 −−⟶ C −−⟶ C × G −−⟶ G −−⟶ 1 .

Naszym odwzorowaniem jest złozenie E → C × G z rzutowaniem na C.

Wniosek 3 Jeśli E jest skończenie generowaną grupą, C jest jej centrum i [E, E] jest komutantem E, to indeks C jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy [E, E] jest skończony. Dowód ⟹ Niech [E : C] = n. Z teorii grup jakoś wynika, że C jest też skończenie generowana. Z wniosku 2 mamy homomorfizm E → C ze skończonym jądrem (bo n-torsja jest skończona dla skończenie generowanej grupy abelowej). C jest przemienna, stąd [G, G] ⊆ kerE → C, czyli [E, E] jest skończona. ⟸ Niech E = ⟨g_{1}, …, g_{n}⟩. Wtedy C = ⋂ C(g_{i}), gdzie C(g_{i}) jest centralizatorem g_{i}. Stąd wystarczy pokazać, że indeks każdego C(g_{i}) jest skończony. Ale E/C(g_{i}) (zbiór warstw) jest w bijekcji z g_{i}^{E} (klasa sprzężoności g_{i}) i g_{i}^{E} wkłada się w [E, E] – skończony.

Wniosek 4 Jeśli grupa E zawiera nieskończoną cykliczną, centralną podgrupę skończonego indeksu C, to E ≅ ℤ ⋉ F, gdzie F jest pewną grupą skończoną. Dowód Niech [E : C] = n. Wtedy z wniosku 2 mamy homomorfizm ϕ : E → C taki, że ker(ϕ) ∩ C jest n-torsją w C, stąd ker(ϕ) ∩ C jest trywialne i ker(ϕ) jest skończone. Stąd im(ϕ) jest nieskończony i dostajemy epimorfizm E → ℤ. ℤ jest grupą wolną więc ten epimorfizm się rozszczepia.