ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 2

Morfizmy funktorów

Przykład Niech ∗ : Vect _{K} → Vect _{K}^{op} będzie funktorem przestrzeni dualnej

V^{∗} = h^{K}(V) = hom_{Vect _{K}} (V, K).

Dla każdej przestrzeni V, mamy “naturalne” odwzorowanie

V ∋ v ↦ f_{v} ∈ V^{∗∗}, f_{v}(g) = g(v).

“Naturalność” polega na tym, że przekształcenie to nie zależy od V, jest to przekształcenie pomiędzy funktorami:

id : Vect _{K} → Vect _{K}, ∗∗ : Vect _{K} → Vect _{K}.

Definicja Niech F, G : C → D będą funktorami. ψ jest morfizmem lub naturalnym przekształceniem pomiędzy F i G (oznaczenie ψ : F → G), gdy

ψ = (ψ_{X} : F (X) → G(X))_{X∈C}

taka, że dla każdego f ∈ Hom_{C}(X, Y) następujący diagram jest przemienny

F (X) −−⟶^{F (f)} F (Y)
ψ_{X} ↓  ↓^{ψ_{Y}}
G(X) −−⟶_{G(f)} G(Y) ,

tzn. ψ_{Y}F (f) = G(f)ψ_{X}.

Przykład 1

id : Vect _{K} → Vect _{K}, ∗∗ : Vect _{K} → Vect _{K}.
φ : id → ∗∗, φ_{V}(v)(v^{∗}) = v^{∗}(v).

Weźmy dowolne A : V → W liniowe. Mamy pokazać, że następujący diagram jest przemienny:

V −−⟶^{A} W
φ_{V} ↓  ↓^{φ_{W}}
V^{∗∗} −−⟶_{A^{∗∗}} W^{∗∗} .

Najpierw zinterpretujemy A^{∗} i A^{∗∗}. Dla w^{∗} ∈ W^{∗}, v^{∗∗} ∈ V^{∗∗}:

A^{∗}(w^{∗}) = w^{∗} ∘ A, A^{∗∗}(v^{∗∗}) = v^{∗∗} ∘ A^{∗}.

Weżmy dowolne v ∈ V i w^{∗} ∈ W^{∗}.

A^{∗∗}(φ_{V}(v))(w^{∗}) = φ_{V}(v)∘A^{∗}(w^{∗}) = φ_{V}(v)(A^{∗}(w^{∗})) = φ_{V}(v)(w^{∗}∘A) = w^{∗}∘A(v) = w^{∗}(A(v)).

φ_{W}(A(v))(w^{∗}) = w^{∗}(A(v)).

Czyli

A^{∗∗}(φ_{V}(v)) = φ_{W}(A(v)) i A^{∗∗} ∘ φ_{V} = φ_{W} ∘ A.

Przykład 2

Niech T : Diff → Diff będzie funktorem przestrzeni stycznej. Wtedy mamy naturalne przekształcenie (rzutowania):

π : T → id, π_{X} : T (X) → X, π_{X}(x, v) = x.

dla (x, v) ∈ T (X). Z geometrii różniczkowej wiemy, że dla każdej funkcji gładkiej f : X → Y następujący diagram jest przemienny:

T (X) −−⟶^{T (f)} T (Y)
π_{X} ↓  ↓^{π_{Y}}
X −−⟶_{f} Y .

Przykład 3

Niech X będzie rozmaitością analityczną, O_{X} snopem (grup abelowych) funkcji holomoricznych w ℂ z działaniem dodawania funkcji i O_{X}^{∗} snopem (grup abelowych) funkcji holomoricznych w ℂ^{∗} z działaniem mnożenia funkcji. Mamy naturalne przekształcenie:

exp : O_{X} → O_{X}^{∗}, exp_{U}(f)(x) = exp(f(x)).

Jest to morfizmem snopów, bo dla każdej pary U ⊆ V zbiorów otwartych w X i f ∈ O_{X}(U) mamy exp(f)|_{U} = exp(f|_{U}), czyli:

O_{X}(V) −−−−→^{f↦f|_{U}} O_{X}(U)
exp_{V} ↓  ↓^{exp}_{U}
O_{X}^{∗}(V) −−−−→^{f↦f|_{U}} O_{X}^{∗}(U) ,

Przykład przekształcenia nienaturalnego Weźmy przestreń liniową V i jej bazę B. Niech (·, ·)_{B} będzie iloczynem skalarnym na V pochodzącym od bazy B. Definiujemy

ϕ_{V,B} : V → V^{∗}, ϕ_{V,B}(v)(w) = (v, w)_{B}.

Przekształcenie nie jest naturalne głównie dlatego, że jest pomiędzy funktorem kowariantnym (id) a kontravariantnym (∗). Poza tym zależy od wyboru bazy, czyli istotnie zależy od danej przestrzeni liniowej.

Definicja Dla C, D – kategorii, Func(C, D) to kategoria funktorów z C do D, gdzie morfizmami są naturalne przekształcenia funktorów.

Główne przykłady, to kategorie (pre)snopów i Func(C, Set ).

Twierdzenie Niech C będzie kategorią. Wtedy:

1. Mamy funktor kontrawariantny

h : C^{op} → Func(C, Set ), h(A) = h_{A}.

2. Lemat Yonedy Dla każdego funktora T : C → Set i A ∈ C, odwzorowanie

Hom(h_{A}, T) ∋ ϕ ↦ ϕ_{A}(id_{A}) ∈ T (A)

jest bijekcją.

3. Funktor h jest wiernie pełen.

Dowód

1. Dla g ∈ Hom_{C}(A, B) definiujemy:

h(g) : h_{B} → h_{A}, h(g)_{X} = h^{X}(g) dla każdego X ∈ C.

Trzeba zauważyć, że dla dowolnego f ∈ Hom_{C}(X, Y) następujący diagram jest przemienny, co jest równoważne łączności składania:

Hom_{C}(B, X) −−⟶^{h_{B} (f)} Hom_{C}(B, Y)
(h(g)_{X} =)h^{X} (g) ↓  ↓^{h^{Y} (g)(=h(g)_{Y})}
Hom_{C}(A, X) −−⟶^{h_{A}(f)} Hom_{C}(A, Y) .

2. Definiujemy funkcję odwrotną do

Hom(h_{A}, T) ∋ ϕ ↦ ϕ_{A}(id_{A}) ∈ T (A).

Niech a ∈ T (A). Definiujemy dla dowolnych X ∈ C i f : A → X:

ā : h_{A} → T, ā_{X} : Hom(A, X) → T (X), ā_{X} (f) = T (f)(a).

Musimy sprawdzić, czy ā jest przekształceniem funktorów, czyli czy dla dowolnego g : X → Y następujący diagram jest przemienny:

Hom_{C}(A, X) −−⟶^{h_{A}(g)} Hom_{C}(A, Y)
ā_{X} ↓  ↓ ā_{Y}
T (X) −−⟶^{T (g)}  T (Y) .

Weźmy dowolny f ∈ Hom_{C}(A, X).

T (g)(ā_{X} (f)) = T (g)(T (f)(a)) = T (gf)(a) = ā_{Y}(gf) = ā_{Y}(h_{A}(g)(f)).

Sprawdzamy,czy zdefiniowane przekształcenia pomiędzy Hom(h_{a}, T) i T (A) są wzajemnie odwrotne. Weźmy ϕ : h_{A} → T. Chcemy pokazać, że \overline{ϕ_{A}(id_{A})} = ϕ. Weźmy dowolny f : A → X. Mamy:

\overline{ϕ_{A}(id_{A})}_{X}(f) = T (f)(ϕ_{A}(id_{A}).

Ale ϕ jest morfizmem funktorów, czyli następujący diagram jest przemienny:

Hom_{C}(A, A) −−⟶^{h_{A}(f)} Hom_{C}(A, X)
ϕ_{A} ↓  ↓^{ϕ_{X}}
T (A) −−⟶^{T (F)}  T (X) .

Stąd:

T (f)(ϕ_{A}(id_{A}) = ϕ_{X}(h_{a}(f)(id_{A})) = ϕ_{X}(f ∘ id_{A}) = ϕ_{X}(f).

Czyli \overline{ϕ_{A}(id_{A})} = ϕ. Dla dowolnego a ∈ T (A),

ā_{A}(id_{A}) = T (id_{A})(a) = id_{T (A)}(a) = a.

3. Z poprzedniego punktu (dla T = h_{B}) mamy następujące bijekcje

Hom(B, A) = h_{B}(A) ↔ Hom(h_{A}, h_{B}).

Czyli wystarczy pokazać, że odpowiadają one funkcji na morfizmach indukowanej przez funktor f. Weźmy g ∈ h_{B}(A) i f : A → X.

ḡ_{X}(f) = h_{B}(f)(g) = fg = h^{X}(g)(f), stąd ḡ_{X} = h^{X}(g) = h(g)_{X}

Czyli ḡ = h(g).

Często zanurzamy poprzez powyższy funktor kontrawariantny daną kategorię w kategorię funktorów, żeby móc przeprowadzać różne operacje, które mogą być niedozwolone w wyjściowej kategorii.

Fakt Przekształcenie funktorów f : F → G jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego obiektu X z dziedziny F i G, f_{X} : F (X) → G(X) jest izomorfizmem. Dowód ⇒ Niech g : G → F będzie przekształceniem funktorów takim, że gf = id_{F}, fg = id_{G}. Wtedy dla każdego X, g_{X}f_{X} = id_{F (X)}, f_{X}g_{X} = id_{G(X)} . ⇐ Wystarczy przyjąć dla każdego X, g_{X} = f_{X}^{−1} .

Przykład Niech Vect _{K}^{f} oznacza kategorię skończenie-wymiarowych przestrzeni liniowych nad K i V ∈ Vect _{K}^{f}. Wtedy φ : id → ∗∗ jest izomorfizmem, bo jesłi v ∈ V \ {0}, to istnieje v^{∗} ∈ V^{∗} taki, że v^{∗}(v) ≠ 0, czyli φ_{V}(v)(v^{∗}) ≠ 0 i φ_{V}(v) ≠ 0. Stąd φ_{V} jest “1-1” a ponieważ dim(V) = dim(V^{∗∗}) < ∞ (V jest niekanonicznie izomorficzna z V^{∗} i V^{∗∗}!), to φ_{V} jest izomorfizmem.

Definicja nieużyteczna Izomorfizm pomiędzy kategoriami C i D jest to funktor F : C → D dla którego istnieje funktor G : D → C, taki że GF = id_{C} i F G = id_{D}.

Przykład Niech Ord będzie pełną podkategorią Set , której obiektami są liczby kardynalne. Wtedy Ord jest izomorficzna z Iso(Set ).

Definicja użyteczna Kategorie C i D są równoważne, gdy istnieje funktor F : C → D dla którego istnieje funktor F G : D → C, taki że G ≅ id_{C} i F G ≅ id_{D}.

Przykład Vect _{K}^{f} i (Vect _{K}^{f})^{op} są równoważne, bo ∗∗ ≅ id.

Twierdzenie F : C → D jest równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy F jest wiernie pełny i dla każdego Y ∈ D, istnieje X ∈ C, taki że Y ≅ F (X). Dowód ⇒ Dla każdych X, Y ∈ C złożenia (gdzie ostatnia strzałka: l jest bijekcją i pochodzi od izomorfizmu z funktorem identycznościowym):

Hom_{C}(X, Y) → Hom_{D}(F (X), F (Y)) → Hom_{C}(GF (X), GF (Y)) → Hom_{C}(X, Y)

Hom_{C}(X, Y) → Hom_{D}(G(X), G(Y)) → Hom_{C}(F G(X), F G(Y)) → Hom_{C}(X, Y)

są identycznościami, stąd F i G są wierne. Weżmy dowolny f : F (X) → F (Y) i niech g = l(G(f)) : X → Y. Wtedy

lGF (g) = g = lG(f).

Ale l jest bijekcją, czyli GF (g) = G(f). Wiemy też, że G jest wierny, czyli f = F (g), stąd F jest pełny. Dla każdego Y ∈ D, F (G(Y)) ≅ Y, czyli można wziąć X = G(Y).

⇐ Dla każdego Y ∈ D znajdujemy, α_{Y} : F (X) ≅ Y (dla Y = F (X) wybieramy α_{Y} = id_{Y}). Dla f : Y → Y′ definiujemy:

G : D → C, G(Y) = X, G(f) = F^{−1} (α_{Y}fα_{Y′}^{−1}).

Sprawdzamy, że G jest funktorem. jest jasne, że F^{−1} też zachowuje złożenia. Stąd dla f : Y → Y′, g : Y′→ Y′′

G(gf) = F^{−1} (α_{Y}gfα_{Y′}^{−1}) = F^{−1} (α_{Y}gα_{Y′}^{−1}α_{Y′}fα_{Y′′}^{−1}) = F^{−1} (α_{Y}gα_{Y′}^{−1})F (α_{Y′}fα_{Y′′}^{−1}) = G(g)G(f).

Z konstrukcji GF = id_{C}. Niech

α : F G → id_{D}, α_{Y} : F G(Y) ≅ Y.

Wiemy, że dla każdego f : Y → Y′, G(f) = F^{−1} (α_{Y}fα_{Y′}^{−1}). Stąd F G(f) = (α_{Y}fα_{Y′}^{−1}), czyli następujący diagram jest przemienny:

Y −−⟶^{f}  Y′
α_{Y} ↓  ↓^{α_{Y′}}
F G(Y) −−⟶^{F G(f)} F G(Y′) .

Czyli α jest morfizmem funktorów. α jest izomorfizmem,bo jest izomorfizmem na obiektach.

Przykład Funktor pierścienia funkcji regularnych. Nie istnieje naturalny odwrotny.