ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 5

Granice

Niech (I, ) będzie posetem (zbiorem z częściowym porządkiem) i C dowolną kategorią. Dla każdego i ∈ I niech będzie dany obiekt X_{i} ∈ C i dla każdej pary uporządkowanej i j, niech będzie dany morfizm f_{ij} : X_{i} → X_{j} w ten sposób, że dla każdych i j k mamy f_{jk}f_{ij} = f_{ik} (f_{ii} = id_{X_{i}} ). Będziemy pisać (X_{i}, f_{jk})_{i∈I,j<k} lub (X_{i})_{i∈I} lub (f_{jk})_{i∈I,j<k} . Taki wybór jest równoważny zadaniu funktora F : (I, ) → C, gdzie (I, ) traktujemy jako kategorię tak jak w zadaniu 7 listy 1 (jest to w praktyce tylko kolejny zapis, najkrótszy).

Definicja granicy Granicą odwrotną funktora F : (I, ) → C (granicą projektywną, granicą) nazywamy X ∈ C wraz z kolekcją morfizmów (f_{i} : X → X_{i})_{i∈I} taką, że

• Dla każdego i ∈ I, f_{ij} f_{i} = f_{j}.

• Dla dowolnej innej kolekcji (f′_{i} : X′ → X_{i})_{i∈I} spełniającej powyższy warunek, istnieje jedyny morfizm f : X′→ X, taki że f_{i}f = f′_{i}.

X oznaczamy przez \underleftarrow{lim}F lub limF.

W powyższej definicji (I, ) może być zastąpiony przez dowolną kategorię I (rozumianą jako kategorię indeksów).

W ćwiczeniach jest równoważna definicja granicy odwrotnej poprzez funktory reprezentowalne.

Przykłady (C – kategoria)

1. Produkt X ×Y = \underleftarrow{lim}(X, Y), tzn. I = \{0, 1\} z dyskretnym porządkiem i F (0) = X, F (1) = Y. Jeśli I jest dowolnym dyskretnym posetem i dla i ∈ I, F (i) = X_{i}, to

∏_{i∈I} X_{i} := \underleftarrow{lim}F.

2. Produkt włóknisty (pull-back)

Dla f : X → Z, g : Y → Z definiujemy pull-back f i g jako

X ×_{Z} Y := \underleftarrow{lim}(f : X → Z, g : Y → Z).

Czyli zbiorem uporządkowanym jest I = {0, 1, 2} z relacją 0 1, 1 2 i F (0) = X, F (1) = Y, F (2) = Z, F (0 2) = 0, F (1 2) = f. Inaczej mówiać morfizmy X ×_{Z} Y → X, Y są uniwersalne spośród tych dla których następujący diagram jest przemienny

X ×_{Z} Y −−⟶ X
↓  ↓^{f}
Y −−⟶^{g} Z .

W Set :

X ×_{Z} Y = {(x, y) ∈ X × Y |f(x) = g(y)}

3. Jądro Załózmy, że C ma obiekt zerowy 0, tzn. obiekt będacy obiektem końcowym i początkowym. Wtedy dla każdej pary obiektów X, Y ∈ C istnieje morfizm zerowy 0 : X → Y. Dla każdego morfizmu f : X → Y, ker(f) to morfizm k : K → X uniwersalny względem morfizmów s : Z → X takich, że fs = 0. Równoważnie

ker(f) = \underleftarrow{lim}(f : X → Y, 0 : 0 → Y) = X ×_{Y} 0.

(a) W kategorii grup ker(f : G → H) jest włożeniem f^{−1} (e) w G.

(b) W Set_{∗}, 0 = ∗ i ker(f : X → Y) jest włożeniem f^{−1} (∗) w X.

4. Jeśli (I, ) ma element najmniejszy i_{0} (ogólniej kategoria indeksów element początkowy), to \underleftarrow{lim}F = F (i_{0}).

Definicja kogranicy Granicą prostą funktora F : (I, ) → C (granicą induktywną, kogranicą) nazywamy X ∈ C wraz z kolekcją morfizmów (f_{i} : X_{i} → X)_{i∈I} taką, że

• Dla każdego i ∈ I, f_{j}f_{ij} = f_{i}.

• Dla dowolnej innej kolekcji (f′_{i} : X_{i} → X′)_{i∈I} spełniającej powyższy warunek, istnieje jedyny morfizm f : X → X′, taki że ff_{i} = f′_{i}.

X oznaczamy przez \underrightarrow{lim}F lub colimF. Przykłady (C – kategoria)

1. Koprodukt X ∐ Y = \underrightarrow{lim}(X, Y) i dla dowolnego dyskretnego posetu I,

∐_{i∈I} X_{i} := \underrightarrow{lim}F.

W kategorii grup

∐_{i∈I} G_{i} = ⨁_{i∈I} G_{i}.

2. Koprodukt włóknisty (push-out) Dla f : Z → X, g : Z → Y definiujemy push-out f i g jako

X ∐_{Z} Y := \underrightarrow{lim}(f : Z → X, g : Z → Y).

Inaczej mówiać morfizmy X ×_{Z} Y → X, Y są uniwersalne spośród tych dla których następujący diagram jest przemienny

Z −−⟶^{f}  X
g↓  ↓
Y −−⟶ X ∐ _{Z} Y .

W Sets ,

X ∐_{Z} Y = (X ∐ Y)/f(z) ∼ g(z).

W Alg_{K},

S_{1} ∐_{R} S_{2} = S_{1} ⊗_{R} S_{2}.

3. Kojądro Załózmy, że C ma obiekt zerowy 0. Dla każdego morfizmu f : X → Y, coker(f) to morfizm k : Y → C uniwersalny względem morfizmów s : Y → Z takich, że sf = 0. Równoważnie

coker(f) = \underrightarrow{lim}(f : X → Y, 0 : X → 0) = Y ∐_{X} 0.

(a) W Mod _{R}, coker(f : M → N) = N → N/f(M).

(b) W Set_{∗}, coker(f : X → Y) = Y → Y/f(X) (f(X) ściągamy do punktu (wyróżnionego), resztę zostawiamy).

4. Jeśli (I, ) ma element największy i_{∞} (ogólniej kategoria indeksów element końcowy), to \underrightarrow{lim}F = F (i_{∞} ).

Definicja Załóżmy, że poset (I, ) jest skierowany, tzn. dla każdych i, j ∈ I istnieje k ∈ I taki, że i, j k. Wtedy F : (I, ) → C nazywamy systemem prostym a F : (I, ) → C^{op} systemem odwrotnym. \underleftarrow{lim}F to granica systemu odwrotnego, \underrightarrow{lim}F granica systemu prostego.

Uwaga (ćwiczenie) Niech (I, ) będzie skierowanym posetem, i ∈ I i I_{i} = {j ∈ I|j i}. Wtedy dla dowolnego systemu odwrotnego (X_{i})_{i∈I} ,

\underleftarrow{lim}(X_{j})_{j∈I} = \underleftarrow{lim}(X_{j})_{j∈I_{i}} .

Podobnie dla granicy prostej.

Przykłady

1. W Mod _{R} granica systemu prostego (M_{i})_{i∈I} , to (ćwiczenie)

\underrightarrow{lim}(M_{i})_{i∈I} = ⨁_{i∈I} M_{i}/⟨(w_{j}f_{ij} − w_{i})(M_{i})|∀i j⟩,

gdzie w_{i} : M_{i} → ⨁ _{i∈I} M_{i} jest włożeniem w sumę prostą. Granica systemu odwrotnego (M_{i})_{i∈I} , to (ćwiczenie)

\underleftarrow{lim}(M_{i})_{i∈I} = \{(a_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} M_{i}|(∀i j)f_{ij} (a_{j}) = a_{i}\}.

Powyższa konstrukcja granicy systemu odwrotnego działa również w kategorii grup, pierścieni i przestrzeni topologicznych.

2. Weźmy pierścień R i ideał I ⊂ R. Mamy system odwrotny (R/I^{n}). Jego granica \underleftarrow{lim}(R/I^{n}) zwie się uzupełnieniem R względem I. Np. ℤ_{p} := \underleftarrow{lim}(ℤ/p^{n}ℤ)_{n∈ℕ} – pierścien całkowitych liczb p-adycznych.

3. Weźmy poset skierowany (ℕ, |) (relacja podzielności). Systemem prostym będą ciała skończone charakterystyki p, (𝔽_{p^{n}})_{n∈ℕ} z rozszerzeniami ciał. Wtedy \underrightarrow{lim}(𝔽_{p^{n}})_{n∈ℕ} = \overline{𝔽_{p}}, algebraiczne domnknięcie 𝔽_{p}. Ogólniej, dowolna struktura jest granicą prostą jej podstruktur skończenie generowanych.

4. Grupy proskończone to granice systemów odwrotnych grup skończonych w kategorii grup topologicznych.

Definicja Funktor G : C → D zachowuje granice odwrotne, gdy dla każdego F : (I, ) → C, jeśli X = \underleftarrow{lim}F, to G(X) = \underleftarrow{lim}(G ∘ F). Analogiczna definicja dla granic prostych.

Twierdzenie (dowód na następnym wykładzie) Jeśli F jest funktorem lewodołączonym do G, to F zachowuje granice proste i G zachowuje granice odwrotne.

Przykłady (ilustracje)

1. G – funktor zapominania, F – lewo-dołączony do G

(a) G : Grp → Set , F : Set → Grp – funktor grupy wolnej. G zachowuje granice odwrotne, czyli np. produkty:

G(H_{1} × H_{2}) = G(H_{1}) ⊕ G(H_{2}).

G nie zachowuje granic prostych, czyli np. koproduktów:

G(H_{1} ∗ H_{2}) ≇ G(H_{1}) ∪ G(H_{2}).

F zachowuje granice proste, czyli np. koprodukty:

F_{X∪Y} ≅ F_{X} ∗ F_{Y}.

G nie zachowuje granic odwrotnych, czyli np. produktów:

F_{X×Y} ≇ F_{X} ⊕ F_{Y}.

(b) G : Ab → Grp , F : Grp → Ab – funktor abelianizacji. G zachowuje produkty i nie zachowuje koproduktów:

H_{1} ∗ H_{2} ≇ H_{1} ⊕ H_{2}.

G przenosi grupy w Ab (grupy abelowe) na grupy w Grp (grupy abelowe). F zachowuje koprodukty

(H_{1} ∗ H_{2})^{ab} ≅ H_{1}^{ab} ⊕ H_{2}^{ab},

i przypadkiem również produkty

(H_{1} ⊕ H_{2})^{ab} ≅ H_{1}^{ab} ⊕ H_{2}^{ab}.

Ale F nie zachowuje jądra, weźmy np.

ℤ/3ℤ −−⟶^{f} S_{3} −−⟶^{g} ℤ/2ℤ,

gdzie f = ker(g), g = coker(f). Po nałożeniu F dostajemy

ℤ/3ℤ −−⟶^{f^{ab}} ℤ/2ℤ −−−−→^{g^{ab} =id} ℤ/2ℤ .

Ale f^{ab} = 0 : ℤ/3ℤ → ℤ/2ℤ nie jest jądrem id_{ℤ/2ℤ} . W szczególności F nie przenosi monomorfizmów na monomorfizmy: f przechodzi na 0. F zachowuje kojądra: id_{ℤ/2ℤ} = coker(0 : ℤ/3ℤ → ℤ/2ℤ). Zachowywanie kojąder implikuje też:

H_{1} H_{2} ⟹ (H_{1}/H_{2})^{ab} ≅ H_{1}^{ab}/H_{2}^{ab}.

2. Dla R-modułu M, funktor · ⊗_{R} M : Mod _{R} → Mod _{R} jest lewodołączony do h_{M} (interpretowanego jeko funktor w Mod _{R}). W szczególności ·⊗_{R} M zachowuje kojądra, czyli również epimorfizmy, tzn.

N ↠ N′ ⟹ N ⊗_{R} M ↠ N′⊗_{R} M.

Funktor · ⊗_{R} M nie zachowuje monomorfizmów – np. ℤ ↪ ℚ, ale

ℤ ⊗_{Z} ℤ/2ℤ → ℚ ⊗_{Z} ℤ/2ℤ

nie jest monomorfizmem, bo

ℤ ⊗_{Z} ℤ/2ℤ ≅ ℤ/2ℤ i ℚ ⊗_{Z} ℤ/2ℤ = 0.