ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 6

Twierdzenie Jeśli F jest funktorem lewodołączonym do G, to F zachowuje granice proste i G zachowuje granice odwrotne.

Dowód (dla F) Weźmy poset (I, ) i odpowiednią kolekcję (X_{i}, f_{jk})_{i∈I,j k} . Niech (X, f_{i})_{i∈I} = \underrightarrow{lim}(X_{i})_{i∈I} . Mamy wtedy kolekcję (F (X_{i}), F (f_{jk}))_{i∈I,j k} . Chcemy pokazać, że (F (X), F (f_{i}))_{i∈I} = \underrightarrow{lim}(F (X_{i}))_{i∈I} . Weżmy dowolny Y ∈ D i morfizmy g_{i} : F (X_{i}) → Y jak z definicji granicy prostej. Ustalmy też izomorfizm dołączenia

ι : Hom_{C}(F (·), ·) → Hom_{D}(·, G(·)).

Claim Niech A, B ∈ C i C ∈ D, α : A → B, β : F (A) → C, γ : F (B) → C. Wtedy

β = γ ∘ F (α) ⟺ ι(β) = ι(γ) ∘ α.

Dowód Claimu Pokazujemy tylko ⟹. Ponieważ ι jest morfizmem funktorów, następujący diagram jest przemienny

Hom_{D}(F (B), C) −−−−⟶^{h^{C} (F (α))} Hom_{C}(F (A), C)
ι↓  ↓^{ι}
Hom_{C}(B, G(C)) −−−−⟶^{h^{F (Y )} (α)} Hom_{D}(A, G(C)) .

Nałożmy funkcje z powyższego diagramu na γ.

[ι ∘ h^{C}(F (α))](γ) = ι(γ ∘ F (α)) = ι(β).
[h^{F (Y)}(α) ∘ ι](γ) = ι(γ) ∘ α.

Stąd ι(β) = ι(γ) ∘ α.

Z Claimu dla dowolnych j k mamy ι(g_{j}) = ι(g_{k}) ∘ f_{jk}. Czyli kolekcja (G(Y), ι(g_{i}))_{i∈I} jest “kandydatem” na \underrightarrow{lim}(X_{i})_{i∈I} . Stąd istnieje jedyny morfizm f : X → G(Y) taki, że

f ∘ f_{i} = ι(g_{i}).

Z Claimu, istnieje jedyny morfizm g = ι^{−1} (f) : F (X) → Y taki, że

g ∘ F (f_{i}) = g_{i}.

Definicja (Ab-kategorii i kategorii addytywnej) Niech C będzie kategorią.

A1 (definicja Ab-kategorii) Dla każdych X, Y ∈ C, Hom(X, Y) ma strukturę grupy abelowej i składanie morfizmów jest rozdzielne względem tego działania.

A2 Istnieje 0 ∈ C, obiekt zerowy (końcowy i początkowy).

A3 (zakładamy A1 i A2) Dla każdych X_{1}, X_{2} ∈ C istnieje Y ∈ C wraz z

i_{1} : X_{1} → Y, i_{2} : X_{2} → Y, b_{1} : Y → X_{1}, b_{2} : Y → X_{2}

takimi, że

b_{1}i_{1} = id_{X_{1}} , b_{2}i_{2} = id_{X_{2}} , b_{1}i_{1} + b_{2}i_{2} = id_{Y}, b_{1}i_{2} = b_{2}i_{1} = 0.

Y nazywamy sumą prostą (biproduktem) X_{1} i X_{2} i oznaczamy X_{1} ⊕ X_{2}. Kategorię nazywamy addytywną gdy spełnia A1, A2 i A3.

Fakt Suma prosta w kategorii addytywnej jest produktem i koproduktem. Dowód (Pokażemy, że X_{1} ⊕ X_{2} wraz z f_{1} i f_{2} jest produktem) Weźmy f : Z → X_{1}, g : Z → X_{2}. Pokażemy, że ϕ := i_{1}f − i_{2}g jest jedynym ϕ : Z → X_{1} ⊕ X_{2} takim, że odpowiednie diagramy są przemienne. Przemienność:

b_{1}ϕ = b_{1}i_{1}f + b_{1}i_{2}g = id_{X_{1}} f + 0g = f.

Podobnie b_{2}ϕ = g. Jedyność: Załóżmy, że mamy ϕ : Z → X_{1} ⊕ X_{2} takie, że b_{1}ϕ = f, b_{2}ϕ = g. Wtedy

i_{1}b_{1}ϕ = i_{1}f, i_{2}b_{2}ϕ = i_{2}g,
i_{1}f + i_{2}g = (i_{1}b_{1} + i_{2}b_{2})ϕ = id_{Y} ϕ = ϕ.

Definicja (kategorii abelowej) A4 Dla dowolnego morfizmu f : X → Y istnieje ciąg (rozkład f):

K −−⟶^{k} X −−⟶^{i} I −−⟶^{j} Y −−⟶^{c} C

taki, że 1. ji = f.

2. ker(f) = (K, k), coker(f) = (c, C).

3. ker(c) = (I, j), coker(k) = (i, I) (I nazywamy obrazem f).

Kategorię nazywamy abelową, gdy jest addytywna i spełnia A4.

Uwaga (do A4) W dowolnej kategorii addytywnej, w której istnieją jądra i kojądra dla f : X → Y mamy:

K −−⟶^{k} X −−⟶^{i} I,  I′ −−⟶^{j} Y −−⟶^{c} C,

gdzie k = ker(f), i = coker(k), c = coker(f), j = ker(c). I′ nazywamy obrazem f a I nazywamy koobrazem f. Wtedy mamy jedyny morfizm l : I → I′ taki, że ker(l) = coker(l) = 0. Kategoria jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy l jest izomorfizmem (czyli obraz jest izomorficzny z koobrazem poprzez l). Czyli własność A4 odpowiada twierdzeniu o izomorfiźmie (dla grup np. G/ ker(f) ≅ im(f)).

Przykłady

1. Mod _{R} to kategoria abelowa.

2. Przemienne grupy algebraiczne (kategoria addytywna, ale nie abelowa). Rozważmy homomorfizm Frobeniusa

Fr : (K, +) → (K, +),

gdzie Fr(a) = a^{p} i K jest ciałem charakterystyki p > 0.

Wtedy Fr jest monomorfizmem i epimorfizmem, ale nie jest izomorfizmem. W kategorii abelowej nie jest to możliwe. W większej kategorii schematów grupowych Fr nie jest monomorfizmem, bo ker(Fr) odpowiada algebrze Hopfa K[X]/(X^{p}). Nad ciałem charakterystyki 0 przemienne grupy algebraiczne są kategorią abelową, bo definiowalny homomorfizm grup algebraicznych jest morfizmem.

3. Dla C małej i A abelowej, Func(C, A) jest kategorią abelową. Wynika to wprost z abelowości kategorii A, np.

(G ⊕ F)(X) := G(X) ⊕ F (X).

W szczególności presnopy grup abelowych nad przestrzenią X (Psh_{X}) to kategoria abelowa.

4. Snopy grup abelowych nad przestrzenią X (Sh_{X}) Od razu widać, że Sh_{X} są kategorią addytywną. Jednak kojądro (w kategorii presnopów) morfizmu snopów może nie być snopem. Niech O_{ℂ} będzie snopem funkcji holomorficznych w ℂ (z dodawaniem funkcji) i O_{ℂ}^{∗} będzie snopem funkcji holomorficznych w ℂ \ {0} (z mnożeniem funkcji). Rozważmy morfizm

exp : O_{ℂ} → O_{ℂ}^{∗}

niech F będzie kojądrem exp w kategorii presnopów (tzn. dla każdego otwartego V, F(V) = O_{ℂ}^{∗}(V)/ exp(O_{ℂ}(V))) i weżmy U = ℂ \ {0}. Wtedy s := [id_{U}] ∈ F(U) \ {0} (bo nie istnieje globalny logarytm), ale dla pokrycia U przez dyski (lub dowolne zbiory jednospójne) U = ⋃ U_{i}, mamy s|_{U_{i}} = 0 (bo na dysku możemy logarytmować). Stąd F nie jest snopem. Jednak Sh_{X} jest wciąż abelowa, co udowodnimy później.

Twierdzenie Istnieje lewy funktor dołaczony do funktora zapominania Sh_{X} → Psh_{X} (funktor usnopienia) ^{+} : Psh_{X} → Sh_{X}. Dla morfizmu snopów f : F → G mamy

ker_{Sh_{X}} (f) = ker_{Psh _{X}} (f), coker_{Sh_{X}} (f) = coker_{Psh _{X}} (f)^{+}

i Sh_{X} jest kategorią abelową. Dowód Dla presnopa F i x ∈ X definiujemy F_{x} (źdźbło F w x) jako \underrightarrow{lim}(F(U))_{U∋x} (system otoczeń x jest skierowany przez odwrotną inkluzję!). Definiujemy F̄ jako sumę rozłączną wszystkich źdźbeł i

F^{+} (U) = {s : U → F̄|∀x s(x) ∈ F_{x} i ∀x ∈ X∃U ∋ x∃s_{U} ∈ F(U) (s|_{U} = s_{U})}.

Jasne jest, że F^{+} jest presnopem. Jest to też snop (usnopienie F), bo dla dowolnego pokrycia U = ⋃ _{i} U_{i} jeśli mamy zgodny system s_{i} ∈ F^{+} (U_{i}), to przedłuża on się on jednoznacznie do funkcji s : X → F̄ i z tego, że lokalny warunek z definicji F^{+} (U) jest spełniony dla każdego s_{i} wynika, że jest on spełniony dla s. Dla dowolnego morfizmu presnopów f : F → G mamy dla każdego x ∈ X homomorfizm źdźbeł f_{x} : F_{x} → G_{x} i homomorfizm f̄ : F̄ → Ḡ, który indukuje morfizm snopów f^{+} : F^{+} → G^{+} . Stąd usnopienie jest funktorem (lewym dołączonym do zapominania – ćwiczenie). Dla dowolnego morfizmu snopów f : F → G jądro f w kategorii presnopów K jest snopem, bo dla dowolnego pokrycia U = ⋃ _{i} U_{i} i zgodnego systemu s_{i} ∈ K(U_{i}), (s_{i}) przedłuża się jednoznacznie do s ∈ F(U) (bo F jest snopem) i f(s)|_{U_{i}} = f(s_{i}) = 0, stąd f(s) = 0 (bo G jest snopem) i s ∈ K(U). Jest oczywiste, że K jest też jądrem f w kategorii snopów. Niech teraz H będzie kojądrem f w kategorii presnopów i pokażemy, że H^{+} jest kojądrem f w kategorii snopów. Weźmy dowolny morfizm snopów g : G → S, taki że gf = 0. Wtedy g faktoryzuje się przez jedyny l : H → S a ten z dołączoności faktoryzuje się przez jedyny k : H^{+} → S. Czyli H^{+} jest kojądrem f w kategorii snopów. Niech teraz

K −−⟶^{k} F −−⟶^{i} I −−⟶^{j} G −−⟶^{c} K′

będzie kanonicznym rozłożeniem f w kategorii presnopów. Wtedy

K −−⟶^{k} F −−⟶^{i^{+}} I^{+} −−⟶^{j^{+}} G −−⟶^{c^{+}} K^{′+}

jest kanonicznym rozłożeniem f w kategorii snopów (usnopienie zachowuje jądra i kojądra).