Struktury o-minimalne (wykład monograficzny)

Struktury o-minimalne oraz ich warianty stanowią ważną część współczesnej teorii modeli. Strukturę I rzędu (M,<,...) liniowo uporządkowaną przez relację < nazywamy o-minimalną, jeśli dowolny definiowalny podzbiór zbioru M jest skończoną sumą przedziałów. Podstawowym przykładem struktury o-minimalnej jest ciało liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Zbiorami definiowalnymi w tym przypadku są dokładnie zbiory semialgebraiczne, co jest konsekwencją eliminacji kwantyfikatorów teorii tej struktury. Okazuje się, że wiele metod wypracowanych w geometrii semialgebraicznej uogólnia się na zbiory definiowalne w strukturach o-minimlanych. Własności zbiorów definiowalnych w strukturach o-minimalnych (w szczególności w ciałach rzeczywiście domkniętych) będą dominującym tematem pierwszej części wykładu. Druga część wykładu będzie miała chrakter bardziej teoriomodelowy. Poruszone zostaną takie zagadnienia jak: modele pierwsze teorii o-minimalnych, modele przeliczalnych teorii o-minimalnych, własności typów definiowalnych w teoriach o-minimalnych oraz grupy i ciała definiowalne w strukturach o-minimlanych. Bardziej szczegółowy program wykładu (w jęz. angieskim) znajduje się tutaj.

Wymagania: Logika B lub Wstęp do teorii modeli.

Wykład+ćwiczenia: wtorek 14-18, sala 603.

EGZAMIN odbędzie sie w piątek 25.05 w godz. 10:00-13:00 w sali A.

Listy zadań:

  • Lista nr 1

  • Lista nr 2

  • Lista nr 3

  • Lista nr 4

  • Lista nr 5

  • Lista nr 6

  • Lista nr 7

  • Lista nr 8

  • Lista nr 9

  • Lista nr 10


  • Literatura pomocnicza:

    L. van den Dries, Tame topology and o-minimal structures.
    J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy, Real algebraic geometry.
    A. Prestel, Lectures on formally real fields.
    Ch. Miller, A growth dichotomy for o-minimal expansions of ordered fields. Logic: from foundations to applications: European logic colloquium. Str. 385 - 399. Rok publikacji: 1996.
    A. Pillay, C. Steinhorn, Definable sets in ordered structures I, Transactions AMS 295 (1986), str. 565-592.
    J. Knight, A. Pillay, C. Steinhorn, Definable sets in ordered structures II, Transactions AMS 295 (1986), str. 593-605.
    L. Mayer, Vaught's conjecture for o-minimal theories, J. Symbolic Logic 53 (1988), str. 146-159.
    A. Pillay, On groups and fields definable in o-minimal structures, J. Pure and Applied Algebra 53 (1988), str. 239-255.

    Roman Wencel