Rzeczywista geometria algebraiczna (2014/2015)

Wykład: sroda 13-15, sala 311.

Ćwiczenia: sroda 11-13, sala 311.

Konsultacje w okresie zajęć dydaktycznych: sroda 15:10-16:10, piatek 14:10-15:10, pok. 502.


Rzeczywista geometria (semi)algebraiczna zajmuje się badaniem zbiorów definiowanych przez układy równań i nierównosci wielomianowych w potęgach kartezjańskich ciał rzeczywiscie domkniętych (takich jak np. ciało liczb rzeczywistych). Chociaż zawiera ona podstawowe idee obecne w geometrii algebraicznej nad ciałami algebraicznie domkniętymi, posiada też własne metody i problemy, zas otrzymywane rezultaty nie zawsze maja swoje odpowiedniki w klasycznej geometrii algebraicznej. Podstawowe twierdzenia wazne dla rozwoju rzeczywistej geometrii algebraicznej pojawiły się już w XIX wieku. Należa do nich np. twierdzenie Sturma o liczbie zer wielomianu (1835) czy twierdzenie Harnacka o maksymalnej liczbie składowych spójnych krzywej rzeczywistej (1876). Do ważnych z punktu widzenia rzeczywistej geometrii algebraicznej rezultatów zaliczyć należy również rozwiązanie siedemnastego problemu Hilberta przez Artina (1927), zgodnie z którym dowolny wielomian wielu zmiennych przyjmujacy tylko nieujemne wartosci jest suma skończenie wielu kwadratów funkcji wymiernych, a takze zasada Tarskiego-Seidenberga, zgodnie z która rzut zbioru semialgebraicznego jest zbiorem semialgebraicznym. Samo pojęcie zbioru semialgebraicznego zostało wprowadzone pod koniec lat 50-tych XX wieku. W latach 70-tych XX w. udowodnione zostało rzeczywiste twierdzenie o zerach oraz rozpoczęto systematyczne badanie rzeczywistych rozmaitości algebraicznych.

Przybliżony program wykładu:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz rezultatów rzeczywistej geometrii (semi)algebraicznej.

1. Ciała uporzadkowane, rzeczywiste i rzeczywiscie domknięte.
2. Twierdzenie Sturma.
3. Rzeczywiste domknięcie ciała uporzadkowanego.
4. Twierdzenie Tarskiego-Seidenberga.
5. Zbiory i funkcje semialgebraiczne. Rozkład komórkowy, własnosci topologiczne.
6. Ideały w pierscieniach wielomianów nad ciałami rzeczywiscie domknietymi. Twierdzenie o zerach.
7. Siedemnasty problem Hilberta.
8. Rzeczywiste spektrum pierscienia.
9. Funkcje Nasha.
10. Rzeczywiste rozmaitosci algebraiczne.
11. Waluacje w ciałach rzeczywiście domkniętych.

  • Lista nr 1

  • Lista nr 2
  • Lista nr 3
  • Lista nr 4
  • Lista nr 5
  • Lista nr 6

  • Literatura pomocnicza:

    J. Bochnak, M. Coste, M-F. Roy, Real Algebraic Geometry.
    S. Basu, R. Pollack, M-F. Roy, Algorithms in Real Algebraic Geometry.
    A. Prestel, Lectures on Formally Real Fields.
    A. Prestel, Ch. N. Delzell, Positive Polynomials.