Opracowania dotyczące fraktali
i zjawiska samo-podobieństwa

W tym dziale znajdziecie następujące opracowania.

     [F1] "Fraktale ściśle samopodobne - przykłady, wymiar fraktalny, wybrane własności"
                autorstwa Wiktorii Adamskiej, Zuzanny Narożnik i Oleny Zubets.
     [F2] "Wielokątowe fraktale ściśle samopodobne i ich podstawowe własności"
                autorstwa Kingi Grobelnej.
     [F3] "Miara Jordana płatka Kocha" autorstwa Korneli Brodackiej.


Poniżej zamieszczam nieco obszerniejsze omówienia prac z tego działu.

Etapy konstrukcji figury samopodobnej zwanej krzywą Kocha.
Ogólne zasady tego typu konstrukcji fraktali, przy pomocy
rodzin wielokątów podobnych, opisane są w pracy [F2].

[F1] O najprostszych fraktalach (tzw. figury ściśle samopodobne) i ich wymiarze fraktalnym

Wiktoria Adamska, Zuzanna Narożnik, Olena Zubets, "Fraktale ściśle samopodobne - przykłady, wymiar fraktalny, wybrane własności", projekt zespołowy, 2025.    plik pdf

Fraktale są obiektami wzbudzającymi dość powszechne zainteresowanie, ale niełatwo o nich mówić w sposób ścisły na poziomie elementarnym. Zamieszczona tu praca jest dość udaną próbą takiego elementarnego rozważania o fraktalach - dzięki skupieniu się na dość prostym ale ciągle bogatym i ciekawym przypadku tzw. figur ściśle samopodobnych. Figury takie posiadają rozkład na kilka części, z których każda jest pomniejszeniem całości w tej samej skali pomniejszenia. Autorki pracy prezentują dużo różnorodnych przykładów takich fraktali, co przekonuje, że figury takie można projektować i konstruować samodzielnie.
Ważnym aspektem pracy jest analiza opisywanych przykładów pod kątem ich wymiaru fraktalnego. Wymiar fraktalny jest ciekawym konceptem, uogólniającym zwyczajny wymiar. Fascynujące jest, że taki wymiar fraktalny figury nie musi być liczbą całkowitą. Autorki wyliczają wymiar fraktalny dla opisywanych w pracy przykładów, i przekonują nas, że wymiar taki może być dowolną liczbą rzeczywistą z pewnego zakresu (w przykładach z pracy jest to zakres od 0 do 2).

etap opisanej w pracy konstrukcji
figury fraktalnej wzorowanej na
tzw. dywanie Sierpińskiego

[F2] O dość elementarnym sposobie budowania fraktali ściśle samopodobnych za pomocą wielokątów, i o podstawowych własnościach takich fraktali.

Kinga Grobelna, "Wielokątowe fraktale ściśle samopodobne i ich podstawowe własności",
praca magisterska, 2026. plik pdf

Ścisła matematyczna teoria fraktali nie jest łatwa, nawet dla osoby o matematycznym wykształceniu. Popularne opowieści o fraktalach sprowadzają się więc najczęściej do prezentacji obrazków, i komentarzy o charakterze bardzo ogólnikowym. Wydaje się, że dla chcących posmakować tematyki fraktali w sposób nieco ściślejszy najbardziej przystępna droga prowadzi przez tzw. figury samopodobne. Wśród tych ostatnich, szczególnie przystępne są opisane w omawianej pracy tzw. wielokątowe figury samopodobne. Ich ogólna idea jest na tyle prosta, że dysponując wiedzą z samej tylko elementarnej geometrii można samodzielnie projektować rozmaite figury przypominające fraktale oraz odkrywać ich własności.
W prezentowanej pracy znajdziecie opis (sposób konstrukcji) wielokątowych fraktali ściśle samopodobnych, nieco przykładów takich fraktali, oraz kompletne matematyczne wyprowadzenie kilku podstawowych własności takich figur, a wśród nich np. własność tzw. doskonałości, czyli własnośc że dowolnie blisko każdego punktu tej figury znajdują się inne jej punkty.
Jeden z dalszych rozdziałów pracy omawia ciekawe pojęcie wymiaru fraktalnego takich figur, który to wymiar może nie być (i na ogól nie jest) liczbą całkowitą. Najciekawsza własność fraktali wyprowadzona ściśle w tej pracy mówi, że fraktal spójny (czyli składający się z pojedynczego kawałka) musi mieć wymiar fraktalny nie mnieejszy niż 1. Inczej mówiąc, wszystkie fraktale o wymiarze mniejszym niż 1 są niespójne.

Rysunek powyżej przedstawia w sposób obrazkowy pewien zestaw geometrycznych danych pozwalających zbudować przykładowy oryginalny fraktal ściśle samopodobny. Opisana w pracy dość ogólna konstrukcja pozwoli czytelnikowi budować własne niepowtarzalne fraktale.

[F3]    O figurze naśladującej płatek śniegu, i o obliczaniu jej pola

Kornela Brodacka, "Miara Jordana płatka Kocha", praca magisterska, 2026. plik pdf

Płatek Kocha został po raz pierwszy opisany na przełomie XIX i XX wieku. Ze względu na swoją piękną 6-kątną symetrię kojarzony jest z płatkami śniegu, i stąd też wzięła się jego nazwa (po angielsku: Koch snowflake). Jest to bardzo nieklasyczna figura, gdyż jej brzegiem jest linia, zwana krzywą Kocha, która ma bardzo niestandardowe własności. Linia ta ma nieskończoną długość, choć zamyka ograniczony fragment płaszczyzny. Linia ta nie jest gładka w żadnym swoim punkcie. Jest ona przykładem czegoś, co w drugiej połowie XX wieku zostało nazwane fraktalem. Dowolnie małe fragmenty tej krzywej mają taki sam kształt jak jej duże fragmenty po odpowiednim przeskalowaniu. Krzywa ta ma wymiar pośredni pomiędzy 1 i 2 (przy odpowiednim określeniu wymiaru jako tzw. wymiaru fraktalnego). Mimo tych wszystkich anomalii, dla figury ograniczonej tą linią da się wyznaczyć jej pole, i to jest właśnie treścią omawianej pracy. To niebanalne wyliczenie pola płatka Kocha jest przedstawione w sposób naprawdę przystępny. Do jego zrozumienia wystarcza znajomość elementarnej geometrii oraz wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.

Rysunek powyżej, po lewej stronie, przedstawia przybliżony wygląd płataka Kocha. Rysynek po prawej stronie ilustruje jedną z własności udowodnionych w pracy, niezbędnych przy wyliczaniu pola płatka Kocha. Ta własność mówi że wszystkie równoboczne trójkąty z nieskończonej kolekkcji nadbudowywanej kolejno nad odcinkiem AB zawierają się w trojkącie ABD, czyli nigdy nie wyjdą poza ten trójkąt w nieskończonym procesie nadbudowywania.