\documentclass [12pt]{article}
\usepackage{polski}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\def\bit{\bfseries\textit}
\def\bif{\textbf}
%\def\qd{\phantom{p}\hfill $\diamondsuit$ \medskip}
\def\Im{{\rm Im}\,}
\def\bit{\bfseries\textit}
\def\o{\overline}
\def\tg{{\,\rm tg}\,}
\def\arctg{{\rm arctg\,}}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx}
\pagestyle{empty}
\def\d{\displaystyle}
\def\t#1{$^{\bf *}$\bf #1{.}}

\def\v{\vspace{-5pt}}

\def\labelenumi{\bf \arabic{enumi}.}
\def\tlab{$\bf *$\labelenumi}
\long\def\comment#1{{}}
\def\ph{\phantom{-}}
\def\p{\ph}
\begin{document}

\noindent Niech $A$ będzie macierzą wymiaru $m\times m$ o wyrazach rzeczywistych. Rozważamy macierz $A^TDA,$ gdzie
$D$ jest macierzą diagonalną o wyrazach na przekątnej postaci
$$d_{ii}={\omega_i\over \|a_i\|^2}.$$ 
Wtedy
$$ {1\over m}\le \lambda_{\rm max} (A^TDA)\le 1.$$
Pierwsza nierówność wynika z ogólnej nierówności
$$|\lambda_{{\rm max}}(B)|\le \|B\|\le 
\left ( \sum_{i,j=1}^m b_{ij}^2\right )^{1/2},$$ gdzie $\|B\|$ oznacza normę operatora liniowego $B:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m,$ pomiędzy rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta. W teorii operatorów ta nierówność mówi, że promień spektralny operatora jest niewiększy niż norma operatora, która z kolei jest niewiększa niż tzw. norma Hilberta-Schmidta operatora. 
W przypadku, gdy macierz $B$ jest symetryczna lewa nierówność jest równością. 
W naszym przypadku $B=A^TDA$ operator ma nieujemne wartości własne oraz
\begin{multline*}
\lambda_{\rm max}(A^TDA)= \|A^TDA\|=
\|D^{1/2}A\|^2\le \sum_{i,j=1}^m [D^{1/2}A]_{i,j}^2=\sum_{i,j=1}^m {\omega_i\over \|a_i\|^2}a_{ij}^2=1.
\end{multline*}
Z drugiej strony niech $\delta_i$ oznacza $i$-ty wektor bazowy w $\mathbb{R}^m.$ Wtedy 
$$\lambda_{\rm max}(A^TDA)=\|A^TD^{1/2}\|^2\ge \|A^TD^{1/2}\delta_i\|_2^2=\omega_i.$$
Zatem
$$\lambda_{\rm max}(A^TDA)\ge \max_i\omega_i\ge {1\over m}.$$

Można też łatwo przeanalizować kiedy jest równość. Np. dla macierzy symetrycznej $B$ równość 
$$\lambda_{\rm max}(B)^2=  \sum_{i,j=1}^m b_{ij}^2=\sum_{i=1}^m \lambda_m(B)^2$$ oznacza, że 
$\lambda_{\rm max}(B)$ jest jedyną niezerową wartością własną, czyli operator $B$ jest jednowymiarowy.

Z kolei $$\lambda_{\rm max}(A^TDA)={1\over m}$$ oznacza, że wszystkie liczby $\omega_i$ są równe $1/m$ oraz   $A^TDA={1\over m}I.$ To z kolei oznacza, że wiersze macierzy $A$ tworzą układ ortogonalny.

Można też przeanalizować kiedy zachodzi równość
$$\lambda_{\rm max}(A^TDA)\ge \max_i\omega_i.$$ Możemy przyjąć, że
$$\lambda_{\rm max}(A^TDA)\ge \max_i\omega_1.$$ To oznacza, że  $\delta_1$ jest wektorem własnym macierzy $D^{1/2}AA^TD^{1/2}$ odpowiadającym wartości własnej $\omega_1.$    Można stąd wywnioskować, że pierwszy wiersz macierzy $A$ jest ortogonalny do pozostałych wierszy macierzy $A.$               
\end{document}
