\documentclass [12pt]{article}
\usepackage{polski}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\def\bit{\bfseries\textit}
\def\bif{\textbf}
%\def\qd{\phantom{p}\hfill $\diamondsuit$ \medskip}
\def\Im{{\rm Im}\,}
\def\bit{\bfseries\textit}
\def\o{\overline}
\def\ctg{\,{\rm ctg}\,}
\def\tg{{\,\rm tg}\,}
\def\arctg{{\rm arctg\,}}
\newcommand{\s}[1]{\widetilde{#1}}

\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx}
\pagestyle{empty}
\def\d{\displaystyle}
%\def\t#1{$^{\bf *}$\bf #1{.}}

\def\v{\vspace{-5pt}}

\def\labelenumi{\bf \arabic{enumi}.}
\def\tlab{$\bf *$\labelenumi}
\long\def\comment#1{{}}
\def\ph{\phantom{-}}
\def\p{\ph}
\begin{document}

\noindent
  Załóżmy, że ${\rm Im}\, A\subset {\rm Im}\, B.$  Wtedy $A=BC$ dla pewnego ograniczonego operatora $C.$ Rzeczywiście, z założenia dla $x\in (\ker A)^\perp$ istnieje jedyny wektor $y\in (\ker B)^\perp$ taki, że $Ax=By.$ Określmy $C_0x=y.$ Operator $C_0$ jest liniowy, różnowartościowy i odwzorowuje $(\ker A)^\perp$ w $(\ker B)^\perp.$
  Ponadto $A=BC_0$ na podprzestrzeni $(\ker A)^\perp.$ Pokażemy, że $C_0$ ma domknięty wykres. Załóżmy, że $$(\ker A)^\perp\ni x_n\to x, \quad C_0x_n\to y.$$
Wtedy
 $$Ax_n\to Ax,\quad Ax_n=BC_0x_n\to By.$$ Stąd $Ax=By.$ Zatem $C_0x=y.$

 
 
  Określmy operator liniowy $C:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ poprzez
  $$Cx=\begin{cases}
  0 & x\in \ker A,\\
  C_0x & x\in (\ker A)^\perp.
  \end{cases}$$
   Wtedy $C$ jest ograniczonym operatorem liniowym z $\mathcal{H}$ w siebie spełniającym $A=BC.$  Jeśli $B$ jest zwarty, to również $A$ jest zwarty.
   
   Teza jest prawdziwa również dla przestrzeni Banacha. Niech $A\in B(X,Z),$ $B\in B(Y,Z),$ gdzie $X, \, Y$ i $Z$ są przestrzeniami Banacha oraz ${\rm Im}\,A\subset {\rm Im}\, B.$ Niech $X_A$ oraz $Y_B$ oznaczają przestrzenie ilorazowe $X/\ker A$ i $Y/\ker B,$ odpowiednio. Operatory $A$ i $B$ przenoszą się (bez zmiany obrazu) na operatory różnowartościowe i ograniczone z  przestrzeni $X_A$ i $Y_B,$ odpowiednio, w przestrzeń $Z.$ Oznaczymy je symbolami
   $$\tilde{A}:X_A\rightarrow Z,\quad \tilde{B}:Y_B\rightarrow Z.$$
   Mamy ${\rm Im}\tilde{A}\subset {\rm Im}\tilde{B}.$ Zatem dla $u\in X_A$ istnieje jedyny element $v\in Y_B$ taki, że $\tilde{A}u=\tilde{B}v.$ Określmy operator $C:X_A\to Y_B$  wzorem $Cu=v.$ Operator $C$ jest liniowy oraz $\tilde{A}=\tilde{B}C.$  Sprawdzimy, że $C$ ma domknięty wykres. Niech $u_n\to u$ w $X_A$ oraz $Cu_n\to v$ w $Z.$ Wtedy
   $$\tilde{A}u_n\to \tilde{A}u,\quad \tilde{B}Cu_n\to \tilde{B}v.$$
 Stąd $\tilde{A}u=\tilde{B}v,$ czyli $Cu=v.$
 
 Załóżmy, że operator $B:Y\to Z$ jest zwarty. Wtedy operator $\tilde{B}:Y_B\to Z$ też jest zwarty. Istotnie niech $v_n$ będzie ciągiem ograniczonym w $Y_B.$ Istnieje element $y_n\in Y$ taki, że $y_n\in v_n$ oraz $\|y_n\|_Y\le \|v_n\|_{Y_B}+1.$ Zatem ciąg $y_n$ jest ograniczony w $Y.$ Wtedy ciąg $By_n=\widetilde{B}v_n$ zawiera podciąg zbieżny w $Z.$
 
Niech $P_A $ oznacza odwzorowanie ilorazowe
 $P_A: X\to X_A.$ Wtedy
 $$A=\widetilde{A}P_A=\widetilde{B}CP_A.$$ Stąd operator $A$ jest zwarty.
 
\end{document}
