\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 1}}
\def\postfoot{{\it Strony 1-4}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=1

{\centerline{\large \bf Indukcja matematyczna.  Dwumian Newtona.}}

\ss

\noindent{\small Wykład: zad. 1-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40}

\noindent{\small /Cwiczenia 6,7.10.2009: zad. 5-37\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium nr 1, 13.10.2009: materia/l z zad. 1-40}

\sss

\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej
$n$ zachodzi r/owno/s/c
$$1+4+9+16+\ldots+n^2={n(n+1)(2n+1)\over6}\ .$$

\nn Dowie/s/c, /ze dla dowolnej liczby naturalnej $n\ge 6$ kwadrat (figur/e geometryczn/a) mo/zna podzieli/c na $n$ kwadrat/ow.



\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nier/owno/s/c
$$1000000n<2^n+19000000\;.$$

\nn Dowie/s/c, /ze dla dowolnej liczby naturalnej $n$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $a_1,a_2,\ldots,a_n$ zachodzi nier/owno/s/c
$$\sqrt[\scriptstyle n]{a_1a_2\ldots a_n}\le{a_1+a_2+\ldots+a_n\over n}\;.$$

%{\Huge Dot/ad wyk/lad}

\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej
$n$ zachodzi r/owno/s/c
$$1+
2\cdot 3+
3\cdot 3^2+
4\cdot 3^3+
5\cdot 3^4+...+
n\cdot 3^{n-1}={2n-1\over4}\cdot 3^n+{1\over4}\ .$$




\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi r/owno/s/c
$$(2^{2^0}+1)\cdot
(2^{2^1}+1)\cdot
(2^{2^2}+1)\cdot
(2^{2^3}+1)\cdot
(2^{2^4}+1)\cdot...\cdot
(2^{2^n}+1)=
2^{2^{n+1}}-1\ .$$

{\bf UWAGA:} $a^{b^c}=a^{(b^c)}$.



\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi r/owno/s/c
$$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2\ .$$



\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi r/owno/s/c
$$1+
2\cdot 2+
3\cdot 2^2+
4\cdot 2^3+
5\cdot 2^4+...+
n\cdot 2^{n-1}=(n-1)\cdot 2^n+1\ .$$


\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n\ge2$ zachodzi r/owno/s/c
$$
{1\over2}+
{1\over6}+
{1\over12}+
\ldots
+{1\over(n-1)\cdot n}=1-{1\over n}\ .$$



\sss
{\bf Oznaczenia:}
$$\sum\limits_{i=m}\limits^n a_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+a_{m+3}+\ldots+a_{n-1}+a_{n}$$
$$\prod\limits_{i=m}\limits^n a_i=a_m\cdot a_{m+1}\cdot a_{m+2}\cdot a_{m+3}\cdot \ldots\cdot a_{n-1}\cdot a_{n}$$

Obliczy/c warto/sci wyra/ze/n:

\ny $\displaystyle\sum\limits_{i=3}\limits^5 i^2$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{i=-99}\limits^{100} i^3$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{i=-10}\limits^{10} 7$
\nx $\displaystyle\prod\limits_{i=1}\limits^{5} i$
\nx $\displaystyle\prod\limits_{i=-2008}\limits^{2008} i^{2008}$

\nn Zapisa/c wzory wyst/epuj/ace w tre/sci poprzednich zada/n bez u/zycia kropek.


\nn Liczby $a_n,b_n$ s/a okre/slone wzorami
$a_1=b_1=1$,
$a_{n+1}=a_n+b_n$,
$b_{n+1}=a_{n+1}+a_n$.
Dowie/s/c, /ze dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $2a_n^2-b_n^2$ jest
r/owna $\pm 1$.




\vskip 5truept
\sss
{\sc Oszustwo} \nx Dowie/s/c, /ze dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzi
nier/owno/s/c
$$30n<2^n+110\eqno(*)$$

{\it Rozwi/azanie:}

Przeprowadzimy dow/od indukcyjny.

$1^\circ$ Dla $n=1$ sprawdzamy bezpo/srednio $30<2+110=112$.

$2^\circ$ Za/l/o/zmy, /ze
$30n<2^n+110$. 
Udowodnimy nier/owno/s/c
\\
$30(n+1)<2^{n+1}+110$.
Stosuj/ac za/lo/zenie indukcyjne otrzymujemy ci/ag nier/owno/sci:
$$30(n+1)=30n+30<2^n+110+30=
2^{n+1}+110+30-2^n<2^{n+1}+110,$$
przy czym ostatnia nier/owno/s/c zachodzi dla $n\ge5$.

Zatem nier/owno/s/c $(*)$ zosta/la udowodniona dla $n\ge 5$.

Pozostaje sprawdzi/c, /ze

dla $n=2$ mamy $60<4+110=114$,

dla $n=3$ mamy $90<8+110=118$,

dla $n=4$ mamy $120<16+110=126$.

Tym samym nier/owno/s/c $(*)$ jest udowodniona dla wszystkich liczb
naturalnych $n$.

W szczeg/olno/sci wykazali/smy, /ze dla $n=6$ zachodzi nier/owno/s/c
\\ $180<174$. 

Gdzie tkwi b/l/ad w powy/zszym rozumowaniu?


\ss
\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nier/owno/s/c
$10n<2^n+25$ .





\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n\ge2$
zachodzi nier/owno/s/c
${2n\choose n}<4^n$.

{\bf Wskaz/owka:} $(1+1)^{2n}$



\nn Wskaza/c tak/a liczb/e $x$, /ze dla dowolnych liczb naturalnych $n$ i $k$ prawdziwa jest r/owno/s/c
$$
{n\choose k}+
x{n\choose k+1}+
{n\choose k+2}=
{n+2\choose k+2}\;.$$



\nn Uporz/adkowa/c rosn/aco nast/epuj/ace liczby:
$$
{100\choose7},\ \ 
{100\choose27},\ \ 
{100\choose47},\ \ 
{100\choose57},\ \ 
{100\choose77},\ \ 
{100\choose97}.
$$

\nn Rozwi/aza/c r/ownanie 
$$3\cdot{n\choose4}={k\choose2}$$
w liczbach naturalnych $n\ge4$, $k\ge2$.


\nn Dowie/s/c, /ze dla dowolnych liczb ca/lkowitych nieujemnych $a,b,c$
zachodzi r/owno/s/c
$$
{a+b+c \choose a}
{b+c \choose b}=
{a+b+c \choose b}
{a+c \choose a}\ .$$


\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdego $n\ge 2$  zachodzi r/owno/s/c
$${2\choose 2}+
{3\choose 2}+
{4\choose 2}+...+
{n\choose 2}=
{n+1\choose 3}\ .$$


\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdego $n\ge 2$  zachodzi r/owno/s/c
$${2\choose 2}\cdot
{3\choose 2}\cdot
{4\choose 2}\cdot...\cdot
{n\choose 2}=
{n\cdot [(n-1)!]^2\over 2^{n-1}}\ .$$


\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nier/owno/s/c
${3n\choose n}<7^n$.






\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nier/owno/s/c
${2n+3\choose n}<{3\over2}\cdot4^n$.


\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi
nier/owno/s/c $${2n+4\choose n}<2^{2n+1}.$$




\nn
O zdaniu $T(n)$ udowodniono, /ze prawdziwe jest $T(1)$, oraz
/ze dla dowolnego $n\ge6$ zachodzi implikacja $T(n)\imply
T(n+2)$. Czy mo/zna st/ad wnioskowa/c, /ze%

a)
prawdziwe jest $T(10)$,%

b)
prawdziwe jest $T(11)$,%

c)
prawdziwa jest implikacja $T(7)\imply T(13)$,%

d)
prawdziwa jest implikacja $T(3)\imply T(1)$,%

e)
prawdziwa jest implikacja $T(1)\imply T(3)$.%


\nn
O zdaniu $T(n)$ udowodniono, /ze prawdziwe s/a $T(1)$ i $T(100)$, oraz
/ze dla dowolnego $n\ge10$ zachodzi implikacja $T(n)\imply
T(n-1)$. Czy mo/zna st/ad wnioskowa/c, /ze%

a)
prawdziwe jest $T(9)$,%

b)
prawdziwe jest $T(10)$,%

c)
prawdziwa jest implikacja $T(50)\imply T(30)$,%

d)
prawdziwa jest implikacja $T(300)\imply T(200)$,%

e)
prawdziwa jest implikacja $T(30)\imply T(50)$,%

f)
prawdziwa jest implikacja $T(200)\imply T(300)$.%


\nn
O zdaniu $T(n)$ udowodniono, /ze prawdziwe jest $T(1)$, oraz
/ze dla dowolnego $n\ge1$ zachodzi implikacja $T(n)\imply
T(n+2)$. Czy mo/zna st/ad wnioskowa/c, /ze%

a)
prawdziwe jest $T(9)$,%

b)
prawdziwe jest $T(10)$,%

c)
prawdziwa jest implikacja $T(100)\imply T(25)$,%

d)
prawdziwa jest implikacja $T(100)\imply T(200)$.%







\nn
O zdaniu $T(n)$ udowodniono, /ze prawdziwe s/a $T(1)$ i $T(6)$, oraz
/ze dla dowolnego $n\ge1$ zachodzi implikacja $T(n)\imply
T(n+3)$. Czy mo/zna st/ad wnioskowa/c, /ze%

a)
fa/lszywe jest $T(3)$,%

b)
fa/lszywe jest $T(11),$%

c)
prawdziwe jest $T(9),$%

d)
dla dowolnej liczby ca/lkowitej dodatniej $n$ prawdziwe jest $T(n^2)$.%



\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n\ge2$ zachodzi r/owno/s/c
$$
{1\over6}+
{1\over24}+
{1\over60}+
\ldots
+{1\over(n-1)\cdot n\cdot(n+1)}={1\over4}-{1\over 2n(n+1)}\ .$$

\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nier/owno/s/c
$$
\sum\limits_{i=1}^n i^5<{n^3(n+1)^3\over6}
\;.$$


\nn Dowie/s/c, /ze dla dowolnej liczby naturalnej $n\ge 2$ zachodzi
r/owno/s/c
$$
{1\over 3}+{1\over 8}
+{1\over 15}
+{1\over 24}
+\ldots+{1 \over n^2-1}=
{(n-1)(3n+2)\over4n(n+1)}\;.$$



\nn Dowie/s/c, /ze dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzi
$$
9\cdot(3n)!\cdot n ............. 2\cdot\left(3^n\cdot n!\right)^3\;.$$
W miejsce kropek wstawi/c jeden ze znak/ow: $>$, $<$, $=$, $\ge$, $\le$.



\nn Dowie/s/c, /ze dla ka/zdej liczby naturalnej $n\ge 200$ sze/scian mo/zna podzieli/c
na $n$ sze/scian/ow.

 
\nn Wskaza/c sensowne liczby rzeczywiste $A$, $B$, $C$, $D$ i dowie/s/c,
/ze dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodz/a oszacowania
$$A\cdot{4^n\over\sqrt{n+B}}<{2n\choose n}<C\cdot{4^n\over\sqrt{n+D}}\;.$$

{\small {\bf Wskaz/owki:} Zacz/a/c przeprowadza/c dow/od indukcyjny, a liczby $A$, $B$, $C$, $D$ dobra/c
w trakcie dowodu. Dla ka/zdej z dw/och nier/owno/sci przeprowadzi/c osobny dow/od.}


\nn Zgadn/a/c, a nast/epnie udowodni/c wz/or na sum/e (sko/nczon/a, bo wyrazy poza tr/ojk/atem Pascala s/a zerami)
$$
{n\choose 0}+
{n-1\choose 1}+
{n-2\choose 2}+
{n-3\choose 3}+\ldots
$$
We wzorze maj/a prawo pojawi/c si/e wyrazy znanego ci/agu liczbowego.



\nn Zgadn/a/c, a nast/epnie udowodni/c wz/or na sum/e 
$$1+
2\cdot 2+
3\cdot 2^2+
4\cdot 2^3+
5\cdot 2^4+...+
n\cdot 2^{n-1}\ .$$

{\huge Zadanie powt/orzone !!!}




\end{document}



