Funkcje cd.

Ćwiczenia tydzień 10: zad. 297-333 Kolokwium 10.05.10 zad 1-333

Do podanych f, x_{0} i ε dobrać takie δ, aby

∀_{x∈(x_{0}−δ,x_{0}+δ)} |f(x) − f(x_{0})| < ε

297. f(x) = 2x, x_{0} = 5, ε = 1/10 298. f(x) = 1/x, x_{0} = 4, ε = 1/100

299. f(x) = x^{2}, x_{0} = 1, ε = 1/50 300. f(x) = x^{3}, x_{0} = 0, ε = 1/1000

301. f(x) = \sqrt{x}, x_{0} = 30, ε = 1/10 302. f(x) = x^{4}, x_{0} = 10, ε = 10^{−10}

Wskazać taką liczbę M, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność

|f(x)| ≤ M .

303. f(x) = \frac{2x^{4} + 13x^{2} + 7}{5x^{4} + x^{2} + 2} 304. f(x) = \frac{5x^{4} + x^{2} + 2}{2x^{4} + 13x^{2} + 7} 305. f(x) = e^{sin x}

306. f(x) = \frac{x}{x^{4} + 3} 307. f(x) = \frac{x^{1000}}{2^{|x|}}

308. Dowieść, że równanie

x^{1000000} + 2 = (1, 000001)^{x}

ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Wskazać konkretny (być może niepotrzebnie duży) przedział, w którym znajduje się rozwiązanie.

309. Dowieść, że równanie

x^{2} = 25π^{2} · cos x

ma co najmniej 10 rozwiązań rzeczywistych.

310. Dowieść, że równanie

xe^{x} = 1

ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Czy potrafisz je oszacować?

Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem

311. f(x) = \sqrt{x^{2} + x + 1} + \frac{x}{2} 312. f(x) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2}} 313. f(x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 5x + 4} + |x|

314. f(x) = log_{4}(2^{x} + 8^{x})

Do podanych f, x_{0} i ε dobrać takie k ∈ ℕ (dowolne, nie musi być najmniejsze), aby przy δ = 10^{−k} spełniony był warunek

∀_{x∈(x_{0}−δ,x_{0}+δ)} |f(x) − f(x_{0})| < ε

315. f(x) = x^{10}, x_{0} = 2, ε = 1/10 316. f(x) = x^{100}, x_{0} = 5, ε = 10^{−10}

317. f(x) = x^{1000}, x_{0} = 10, ε = 10^{100} (tak, do plus setnej)

318. f(x) = x^{1/10}, x_{0} = 1111, ε = 10^{−5}

Twierdzenie o trzech funkcjach: Jeżeli funkcje f, g, h są określone w otoczeniu punktu x_{0} ∈ [−∞, +∞] (mogą nie być określone w samym x_{0}), a przy tym

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

dla x bliskich x_{0}, to z istnienia i równości granic funkcji f oraz h w punkcie x_{0} wynika

lim_{x→x_{0}} g(x) = lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} h(x) .

To samo stosuje się do granic jednostronnych. Obliczyć granice

319. lim_{x→+∞} \begin{matrix}sin & (x^{1000}) \\ √ & \overline{x} \end{matrix} 320. lim_{x→0} x · \{\frac{1}{x^{1000}} \} (uwaga: część ułamkowa)

Korzystając ze zbieżności

lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e

obliczyć

321. lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x})^{\sqrt{x^{2}+x}} 322. lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x})^{\sqrt{7x^{2}+5x+1}}

323. lim_{x→+∞} \frac{x^{x+1}}{(x + 1)^{x}} 324. lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x})^{\sqrt{x}} 325. lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})^{x}

326. lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x})^{x·f(x)}, gdzie lim_{x→+∞} f(x) = 2

327. lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x^{x}} )^{(x+1)^{x}} 328. lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x^{x}} )^{(x+1)^{x+1}}

Dla podanej funkcji f wyprowadzić oszacowanie postaci

|f(x) − f(x_{0})| < C · δ

prawdziwe dla dowolnego δ > 0 oraz dowolnych x, x_{0} ∈ D_{f} spełniających warunek |x−x_{0}| < δ. W czterech zadaniach C jest liczbą rzeczywistą dodatnią, w jednym wyrażeniem zależnym od x_{0}.

329. f(x) = \sqrt{x}, D_{f} = [1, +∞)

330. f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}, D_{f} = ℝ

331. f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1}, D_{f} = ℝ

332. f(x) = x^{3}, D_{f} = ℝ, (tutaj 0 < δ < 1)

333. f(x) = x^{3}, D_{f} = [−10, 5]