\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\textheight}{1cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 3}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=297
\setcounter{page}{19}
{\centerline{\large \bf Funkcje cd.}}

\ss
\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 10: zad. 297-333\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium 10.05.10 zad 1-333}

\ss

Do podanych $f$, $x_0$ i $\varepsilon$ dobrać takie $\delta$, aby
$$\fora\limits_{x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)}\hskip 5truept |f(x)-f(x_0)|<
\varepsilon$$ 

\ny
$f(x)=2x$,
$x_0=5$,
$\varepsilon=1/ 10$
\nx
$f(x)=1/ x$,
$x_0=4$,
$\varepsilon=1/ 100$
\ny
$f(x)=x^2$,
$x_0=1$,
$\varepsilon=1/ 50$
\nx
$f(x)=x^3$,
$x_0=0$,
$\varepsilon=1/ 1000$
\ny
$f(x)={\sqrt{x}}$,
$x_0=30$,
$\varepsilon=1/ 10$
\nx
$f(x)=x^4$,
$x_0=10$,
$\varepsilon=10^{-10}$




\ss
Wskazać taką liczbę $M$, że
dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność 
$$\left|f(x)\right|\le M\;.$$

\ny $\displaystyle f(x)={2x^4+13x^2+7\over 5x^4+x^2+2}$
\nx $\displaystyle f(x)={5x^4+x^2+2\over 2x^4+13x^2+7}$
\nx $\displaystyle f(x)=e^{\sin x}$
\ny $\displaystyle f(x)={x\over x^4+3}$
\nx $\displaystyle f(x)={x^{1000}\over 2^{|x|}}$



\ss



\nn Dowieść, że równanie
$$x^{1000000}+2=(1,000001)^x$$
ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Wskazać konkretny (być może niepotrzebnie duży)
przedział, w którym znajduje się rozwiązanie.


\nn
Dowieść, że równanie
$$
x^2=25\pi^2\cdot\cos x
$$
ma co najmniej 10 rozwiązań rzeczywistych.

\nn
Dowieść, że równanie
$$
xe^x=1
$$
ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Czy potrafisz je oszacować?



\ss
Wyznaczyć asymptoty funkcji $f$ określonej wzorem
\ny $f(x)=\displaystyle{\sqrt{x^2+x+1}}+{x\over2}$
\nx $f(x)={\root \scriptstyle 3 \of {x^3+x^2}}$
\nx $f(x)=\displaystyle{x^3+1\over x^2+5x+4}+|x|$
\ny $f(x)=\log_4 (2^x+8^x)$


\ss

Do podanych $f$, $x_0$ i $\varepsilon$ dobrać takie $k\in\N$ (dowolne, nie musi być najmniejsze), aby przy $\delta=10^{-k}$ spełniony był warunek
$$\fora\limits_{x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)}\hskip 5truept |f(x)-f(x_0)|<
\varepsilon$$ 

\ny
$f(x)=x^{10}$,
$x_0=2$,
$\varepsilon=1/ 10$
\nx
$f(x)=x^{100}$,
$x_0=5$,
$\varepsilon=10^{-10}$
\ny
$f(x)=x^{1000}$,
$x_0=10$,
$\varepsilon=10^{100}$ (tak, do {\bf plus} setnej)
\ny
$f(x)=x^{1/10}$,
$x_0=1111$,
$\varepsilon=10^{-5}$

\newpage

{\bf Twierdzenie o trzech funkcjach:} Jeżeli funkcje $f,\;g,\;h$ są określone w otoczeniu punktu $x_0\in[-\infty,+\infty]$ (mogą nie być określone w samym $x_0$), a przy tym 
$$f(x)\le g(x)\le h(x)$$
dla $x$ bliskich $x_0$, to z istnienia i równości granic funkcji $f$ oraz $h$ w punkcie $x_0$
wynika
$$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)\;.$$

To samo stosuje się do granic jednostronnych.

\sss

Obliczyć granice
\ny $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} {\sin\left(x^{1000}\right)\over \sqrt x}$ 
\nx $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} x\cdot\left\{\frac1{x^{1000}}\right\}$ (uwaga: część ułamkowa)

\ss Korzystając ze zbieżności
$$\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over x}\right)^x=e$$
obliczyć
\ny $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over x}\right)^{\sqrt{x^2+x}}$ 
\nx $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over x}\right)^{\sqrt{7x^2+5x+1}}$ 
\ny $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} {x^{x+1}\over(x+1)^x}$ 
\nx $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over x}\right)^{\sqrt{x}}$ 
\nx $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over \sqrt x}\right)^{x}$ 
\ny $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over x}\right)^{x\cdot f(x)}$, gdzie $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=2$ 
\ny $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over x^x}\right)^{(x+1)^{x}}$ 
\nx $\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \left(1+{1\over x^x}\right)^{(x+1)^{x+1}}$ 

\ss

Dla podanej funkcji $f$ wyprowadzić oszacowanie postaci
$$\left|f(x)-f(x_0)\right| < C\cdot\delta $$
prawdziwe dla dowolnego $\delta>0$ oraz dowolnych $x,\;x_0\in D_f$ spełniających warunek\\ $|x-x_0|<\delta$.
W czterech zadaniach $C$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią, w jednym wyrażeniem zależnym od $x_0$.

\nn $f(x)=\sqrt x$, $D_f=[1,+\infty)$
\nn $f(x)=\sqrt {x^2+1}$, $D_f=\R$
\nn $\displaystyle f(x)={1\over  x^2+1}$, $D_f=\R$
\nn $f(x)=x^3$, $D_f=\R$, (tutaj $0<\delta < 1$) 
\nn $f(x)=x^3$, $D_f=[-10,5]$




 


\end{document}
