Powtórzenie II.

Ćwiczenia tydzień 11: zad. 321-350 Kolokwium nr 9, 17.05.2010: zad. 1-333

Poniższe zadania powinny być rozwiązane na tablicy przez studentów w celu uzyskania punktów za aktywność

334. Udowodnij, że n^{m} ≤ 2^{n} dla liczb naturalnych n ≥ m^{2}, gdzie m ≥ 4.

335. Niech

G(1) = 1, G(2) = 6, G(3) = 5, oraz G(n+3) = 3·G(n+1)+2·G(n) dla n = 1, 2, 3, …

Udowodnij, że wówczas dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość

G(n) = 2^{n} + n · (−1)^{n} .

336. Zbadaj czy (log_{2}3)^{2} jest liczba naturalną.

337. Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych n ≥ 4, k ≥ 2

3\binom{n}{4} = \binom{k}{2}

338. O zdaniu T (n) udowodniono, że prawdziwe są T (1) i T (6), oraz że dla dowolnego n ≥ 1 zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n + 3). Czy można stąd wnioskować, że

a) fałszywe jest T (3),

b) fałszywe jest T (11),

c) prawdziwe jest T (9),

d) dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n prawdziwe jest T (n^{2}).

339. Oblicz granicę

lim_{n→∞} (n^{3} · \sqrt{n^{2} + 1} − n^{4} − \frac{n^{2}}{2} ) .

340. Zbadaj zbieżność szeregów

∑ \frac{1}{2^{\sqrt{n}}}  oraz  ∑ \frac{1}{2^{\sqrt{lnn}}}

341. Zbadaj zbieżność szeregów

∑ sin (\frac{1}{n^{2}} )  oraz  ∑ tg (\frac{1}{n^{2}} )

342. Zbadaj zbieżność szeregu

∑(−1)^{n} \frac{lnn}{n}

343. Zbadaj zbieżność szeregu

∑(−1)^{n} \begin{matrix}√ & \overline{n^{2} + n + 1} \\ √ & \overline{n^{3} + 2} \end{matrix}

344. Zbadaj zbieżność i znajdź sumę szeregu w zależności od parametru a

∑_{n=1}^{∞} na^{n} .

345. Rozstrzygnij zbieżność szeregu

∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{p}}{n^{4} + n^{2} + 1}

w zależności od parametru p > 0. Oblicz sumę tego szeregu dla jednej spośród tych wartości parametru p, dla których szereg jest zbieżny.

346. Znajdź kresy zbioru \{\frac{lnn}{n} : n ∈ ℕ\} i sprawdź czy należą do zbioru.

347. Dobierz odpowiednie liczby wymierne dodatnie C, D i udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzą nierówności

C ≤ \frac{x^{2010} + 2009x^{2} + 1}{x^{2010} + 2009x^{2008} + 1} ≤ D .

A czy dla D = 100 prawa nierówność jest prawdziwa dla każdego x?

348. Dobierz odpowiednią liczbę wymierną dodatnią δ i udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x ∈ (8 − δ, 8 + δ) zachodzi nierówność

| ^{3} \sqrt{x} − 2| < \frac{1}{100} .

349. Znajdź granicę

lim_{x→+∞} \frac{x^{a}}{lnx} + \frac{e^{x}}{x^{b}}

w zalezności od dodatnich parametrów a, b

350. Zbadaj ciągłość i naszkicuj wykres funkcji

f(x) = x^{{x}} · x^{{−x}}