\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\textheight}{1cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 3}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\N{\mathbb{N}}
\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\tg {{\hbox{tg}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=334
\setcounter{page}{21}
{\centerline{\large \bf Powtórzenie II.}}

\ss

%\noindent{\small Wykład: zad. 1-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40}

\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 11: zad. 321-350\ \ \ \ 
Kolokwium nr 9, 17.05.2010: zad. 1-333}


\sss


{\bf Poniższe zadania powinny być rozwiązane na tablicy przez studentów w celu uzyskania punktów za aktywność}

\ss

\nn Udowodnij, że $n^m\le 2^n$ dla liczb naturalnych $n\ge m^2$, gdzie $m\ge4$.

\nn Niech
$$G(1)=1,\ \ \ G(2)=6,\ \ \ G(3)=5,\ \ \ {\hbox{oraz}}\ \ \ G(n+3)=3\cdot G(n+1)+2\cdot G(n)\ \ {\hbox{dla}}\ \ n=1,2,3,\ldots$$
Udowodnij, że wówczas dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość
$$G(n)=2^n+n\cdot(-1)^n\;.$$ 


\nn Zbadaj czy $(\log_23)^2$ jest liczba naturalną.

\nn Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych $n\ge 4$, $k\ge 2$
$$
3{n \choose 4}={k \choose 2}
$$


\nn O zdaniu $T(n)$ udowodniono, że prawdziwe są $T(1)$ i $T(6)$, oraz
że dla dowolnego $n\ge1$ zachodzi implikacja $T(n)\imply
T(n+3)$. Czy można stąd wnioskować, że

a)
fałszywe jest $T(3)$,%

b)
fałszywe jest $T(11),$%

c)
prawdziwe jest $T(9),$%

d)
dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ prawdziwe jest $T(n^2)$.%

\nn Oblicz granicę
$$\lim\limits_{n\to\infty}
\left(
n^3\cdot\sqrt{n^2+1}-n^4-{n^2\over2}
\right)
\;.$$

\nn Zbadaj zbieżność szeregów
$$
\sum\frac1{2^{\sqrt n}} \hskip2cm {\rm oraz} \hskip2cm\sum\frac1{2^{\sqrt {\ln n}}}
$$

\nn Zbadaj zbieżność szeregów
$$
\sum\sin\left(\frac1{n^2}\right) \hskip2cm {\rm oraz} \hskip2cm\sum\tg\left(\frac1{n^2}\right)
$$



\nn Zbadaj zbieżność szeregu
$$
\sum (-1)^n\frac{\ln n}{n}
$$


\nn Zbadaj zbieżność szeregu
$$
\sum (-1)^n\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{n^3+2}}
$$

\nn Zbadaj zbieżność i znajdź sumę szeregu w zależności od parametru $a$
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty{n a^n}\;.
$$

\nn
Rozstrzygnij zbieżność szeregu
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty {n^p\over n^4+n^2+1}$$
w zależności od parametru $p>0$.
Oblicz sumę tego szeregu dla {\bf jednej} spośród tych wartości parametru $p$,
dla których szereg jest zbieżny.

\nn Znajdź kresy zbioru $\left\{\frac{\ln n}{n} : n\in\N\right\}$ i sprawdź czy należą do zbioru.

\nn Dobierz odpowiednie liczby wymierne dodatnie $C,\;D$ i udowodnij, że dla dowolnej liczby
rzeczywistej $x$ zachodzą nierówności
$$
C\le{x^{2010}+2009x^2+1\over x^{2010}+2009x^{2008}+1}\le D
\;.
$$
A czy dla $D=100$ prawa nierówność jest prawdziwa dla każdego $x$? 

\nn  Dobierz odpowiednią liczbę wymierną dodatnią $\delta$ i udowodnij, że dla dowolnej liczby
rzeczywistej $x\in(8-\delta,\; 8+\delta)$ zachodzi nierówność
$$
\left|\sqrt[\scriptstyle 3] x -2\right|<{1\over100}
\;.$$

\nn Znajdź granicę
$$
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^a}{\ln x} + \frac{e^x}{x^b}
$$
w zalezności od dodatnich parametrów $a,b$

\nn Zbadaj ciągłość i naszkicuj wykres funkcji 
$$
f(x)=x^{\{x\}}\cdot x^{\{-x\}} 
$$



\end{document}





