\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\textheight}{1cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 3}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=378
\setcounter{page}{24}
{\centerline{\large \bf Liczby zespolone}}

\ss
\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 13: zad. 378-408\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium 31.05.10 zad 1-408}
\ss

\def\re {{\hbox{Re}}}
\def\im {{\hbox{Im}}}


\nn Sprawdzić, że
$${\sqrt{a+bi}}=\pm\left(
{\sqrt{ {{\sqrt{a^2+b^2}}+a\over2} }}+
i{\hbox{sgn}}(b){\sqrt{ {{\sqrt{a^2+b^2}}-a\over2} }}
\right)\;,$$
jeśli $b\not=0$.



Rozwiązać równania i układy równań.
\ny $\overline z = z^2$
\nx $\overline z = z^{-1}$
\nx $1+i=z^2$
\nx $3+4i=z^2$
\ny $-3+4i=z^2$
\nx $z^2+z=i$
\nx $z^2+iz=1$
\nx $z=\overline z +1$
\ny $z^2\overline z=8i$
\nx $z^4+10z^2+61=0$
\ny $
\left\{
\matrix{
{ z_1^2=z_2}\cr
{ z_2^2=z_1}\cr
}\right.$
\nx $
\left\{
\matrix{
{ z_1^2+z_2^2=1}\cr
{ z_1+z_2=-1}\cr
}\right.$
\ny $
\left\{
\matrix{
{ z_1+iz_2=1}\cr
{ z_2+iz_1=2}\cr
}\right.$
\nx $
\left\{
\matrix{
{ z_1+\overline{z_2}=1}\cr
{ \overline{z_1}+z_2=i}\cr
}\right.$
\ny $z^5=1$\ \ \ \ ({\bf Wsk.} $z^4+z^3+z^2+z+1=
(z^2+az\pm1)
(z^2+bz\pm1)$ )

\ss

Rozwiązać równania i nierówności. Zaznaczyć zbiór rozwiązań
na płaszczyźnie zespolonej.
\ny $\re z+\re z^2\ge 0$
\nx $3|z|\le |z^2|+1$
\nx $|z|=|\overline z+1|$
\ny $|z+i|\le |z-i|$
\nx $\displaystyle\im{z\over z^2+1}=0$
\nx $\displaystyle\re{z+1\over z}=0$


%\ss
%\nn W trójkącie prostokątnym $PQD$ kąt przy
%wierzchołku $P$ 
%jest prosty, a przy tym $PQ=1$ i $PD=4$.
%Ponadto punkt $C$ jest środkiem odcinka $PD$,
%punkt $A$ jest środkiem odcinka $PC$,
%punkt $B$ jest środkiem odcinka $AC$.
%Punkt $E$ leży na prostej $PD$, przy czym
%$$\angle PQA+\angle PQB+\angle PQC=
%\angle PQD+\angle PQE\;.$$
%Obliczyć $PE$
\sss



{\centerline {\large\bf Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach zespolonych}}
\ss

{\centerline {\bf Warunek konieczny zbieżności}}
Jeżeli $z_n$ nie dąży do 0, to szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$
jest rozbieżny. 
\ss

{\centerline {\bf Zbieżność bezwzględna}}
Jeżeli
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}\left|z_n\right|<\infty$,
to szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$
jest zbieżny. 
\ss


{\centerline {\bf Kryterium d'Alemberta}}
Jeżeli
$\lim\limits_{n\to\infty}\left|{z_{n+1}\over z_n}\right|<1$,
to szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$
jest zbieżny.
 
Jeżeli
$\lim\limits_{n\to\infty}\left|{z_{n+1}\over z_n}\right|>1$,
to szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$
jest rozbieżny, a co więcej\\
$\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=+\infty$. 
\ss

%\newpage
{\centerline {\bf Kryterium Cauchy'ego}}
Jeżeli
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\scriptstyle n]{|z_n|}<1$,
to szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$
jest zbieżny.
 
Jeżeli
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\scriptstyle n]{|z_n|}>1$,
to szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$
jest rozbieżny, a co więcej\\
$\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=+\infty$. 
\ss

\newpage
{\centerline {\bf Uogólnienie kryterium o szeregach naprzemiennych}}
Jeżeli
ciąg $(a_n)$ jest zbieżnym do zera
nierosnącym ciągiem liczb rzeczywistych
dodatnich,
to dla dowolnej takiej liczby zespolonej $z$,
że $|z|=1$ oraz $z\ne1$,
szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}a_n z^n$
jest zbieżny.

Powyższe jest prawdą także dla $|z|<1$,
ale wówczas na ogół stosujemy inne kryteria. 
\ss

{\centerline {\bf Inne kryteria}}

\ss


Jeżeli szeregi
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$ i 
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}y_n$
są zbieżne,
to szeregi
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}(z_n\pm y_n)$
są zbieżne i wówczas
$$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}(z_n\pm y_n)=
\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n\pm 
\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}y_n
\;.$$
\ss

%\newpage
Jeżeli szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$ jest zbieżny,
a szereg 
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}y_n$
jest rozbieżny,
to szeregi
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}(z_n\pm y_n)$
są rozbieżne. 
\ss


Dla dowolnej liczby zespolonej $c\ne0$ szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}cz_n$ jest zbieżny
wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$.
Jeśli oba szeregi są zbieżne, to
$$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}cz_n=
c\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n
\;.$$
\ss


Zbieżność szeregu nie zależy od zmiany lub pominięcia
skończenie wielu początkowych wyrazów.
\ss

Szereg
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n$ jest zbieżny
wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są jednocześnie szeregi
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}\re z_n$
oraz
$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}\im z_n$.
Jeśli podane szeregi są zbieżne, to
$$\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}z_n=
\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}\re z_n
+i \sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}\im z_n
\;.$$
\ss





Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest kołem o środku w zerze
i promieniu $R\in[0,+\infty]$, zwanym promieniem zbieżności szeregu.
Przy $R=0$ koło zbieżności degeneruje się do punktu 0,
przy $R=+\infty$ obszarem zbieżności jest cała
płaszczyzna zespolona.

Na okręgu będącym brzegiem koła zbieżności szereg potęgowy
może być zbieżny w częsci punktów, a w części rozbieżny.

\ss
Zbadać zbieżność szeregów:
\ny $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} {1\over n^2+in+1}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} {n\over n^3+i}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} {n\over n^2+i}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} {n+i\over n^2+i}$
\ss

\ss
Wyznaczyć obszary zbieżności zespolonych szeregów potęgowych:
\ny $\displaystyle\sum\limits_{n=0}\limits^{\infty} 2^nz^n$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} {8z^n\over n^2}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} nz^n$
\ny $\displaystyle\sum\limits_{n=0}\limits^{\infty} n!z^{n^2}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} {z^{6n}\over n}$


 





\end{document}
