Liczby zespolone

Ćwiczenia tydzień 13: zad. 378-408 Kolokwium 31.05.10 zad 1-408

378. Sprawdzić, że

\sqrt{a + bi} = ± (\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} + a}{2}} + isgn(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} − a}{2}}) ,

jeśli b ≠ 0.

Rozwiązać równania i układy równań.

379. \overline{z} = z^{2} 380. \overline{z} = z^{−1} 381. 1 + i = z^{2} 382. 3 + 4i = z^{2}

383. −3 + 4i = z^{2} 384. z^{2} + z = i 385. z^{2} + iz = 1 386. z = \overline{z} + 1

387. z^{2}\overline{z} = 8i 388. z^{4} + 10z^{2} + 61 = 0

389. \{ \begin{matrix}z_{1}^{2} = z_{2} \\ z_{2}^{2} = z_{1} \end{matrix} 390. \{ \begin{matrix}z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 1 \\ z_{1} + z_{2} = −1 \end{matrix}

391. \{ \begin{matrix}z_{1} + iz_{2} = 1 \\ z_{2} + iz_{1} = 2 \end{matrix} 392. \{ \begin{matrix}z_{1} + \overline{z_{2}} = 1 \\ \overline{z_{1}} + z_{2} = i \end{matrix}

393. z^{5} = 1 (Wsk. z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = (z^{2} + az ± 1)(z^{2} + bz ± 1) )

Rozwiązać równania i nierówności. Zaznaczyć zbiór rozwiązań na płaszczyźnie zespolonej.

394. Rez + Rez^{2} ≥ 0 395. 3|z| ≤ |z^{2}| + 1 396. |z| = |\overline{z} + 1|

397. |z + i| ≤ |z − i| 398. Im\frac{z}{z^{2} + 1} = 0 399. Re\frac{z + 1}{z} = 0

Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach zespolonych

Warunek konieczny zbieżności

Jeżeli z_{n} nie dąży do 0, to szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest rozbieżny.

Zbieżność bezwzględna

Jeżeli ∑_{n=1}^{∞} |z_{n}| < ∞, to szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest zbieżny.

Kryterium d’Alemberta

Jeżeli lim_{n→∞} |\frac{z_{n+1}}{z_{n}} | < 1, to szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest zbieżny.

Jeżeli lim_{n→∞} |\frac{z_{n+1}}{z_{n}} | > 1, to szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest rozbieżny, a co więcej

lim_{n→∞} |z_{n}| = +∞.

Kryterium Cauchy’ego

Jeżeli lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{|z_{n}|} < 1, to szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest zbieżny.

Jeżeli lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{|z_{n}|} > 1, to szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest rozbieżny, a co więcej

lim_{n→∞} |z_{n}| = +∞.

Uogólnienie kryterium o szeregach naprzemiennych

Jeżeli ciąg (a_{n}) jest zbieżnym do zera nierosnącym ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich,

to dla dowolnej takiej liczby zespolonej z, że |z| = 1 oraz z ≠ 1, szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n}z^{n} jest zbieżny.

Powyższe jest prawdą także dla |z| < 1, ale wówczas na ogół stosujemy inne kryteria.

Inne kryteria

Jeżeli szeregi ∑_{n=1}^{∞} z_{n} i ∑_{n=1}^{∞} y_{n} są zbieżne, to szeregi ∑_{n=1}^{∞}(z_{n} ± y_{n}) są zbieżne i wówczas

∑_{n=1}^{∞}(z_{n} ± y_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} z_{n} ± ∑_{n=1}^{∞} y_{n} .

Jeżeli szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest zbieżny, a szereg ∑_{n=1}^{∞} y_{n} jest rozbieżny, to szeregi ∑_{n=1}^{∞}(z_{n} ± y_{n}) są

rozbieżne.

Dla dowolnej liczby zespolonej c ≠ 0 szereg ∑_{n=1}^{∞} cz_{n} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

zbieżny jest szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n}. Jeśli oba szeregi są zbieżne, to

∑_{n=1}^{∞} cz_{n} = c ∑_{n=1}^{∞} z_{n} .

Zbieżność szeregu nie zależy od zmiany lub pominięcia skończenie wielu początkowych wyrazów.

Szereg ∑_{n=1}^{∞} z_{n} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są jednocześnie szeregi ∑_{n=1}^{∞} Rez_{n}

oraz ∑_{n=1}^{∞} Imz_{n}. Jeśli podane szeregi są zbieżne, to

∑_{n=1}^{∞} z_{n} = ∑_{n=1}^{∞} Rez_{n} + i ∑_{n=1}^{∞} Imz_{n} .

Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest kołem o środku w zerze i promieniu R ∈ [0, +∞], zwanym promieniem zbieżności szeregu. Przy R = 0 koło zbieżności degeneruje się do punktu 0, przy R = +∞ obszarem zbieżności jest cała płaszczyzna zespolona.

Na okręgu będącym brzegiem koła zbieżności szereg potęgowy może być zbieżny w częsci punktów, a w części rozbieżny.

Zbadać zbieżność szeregów:

400. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + in + 1} 401. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n^{3} + i} 402. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n^{2} + i} 403. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + i}{n^{2} + i}

Wyznaczyć obszary zbieżności zespolonych szeregów potęgowych:

404. ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}z^{n} 405. ∑_{n=1}^{∞} \frac{8z^{n}}{n^{2}} 406. ∑_{n=1}^{∞} nz^{n}

407. ∑_{n=0}^{∞} n!z^{n^{2}} 408. ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{6n}}{n}