Liczby rzeczywiste, liczby wymierne i niewymierne.

Ćwiczenia tydzień 2: zad. 24-40 Kolokwium nr 2, 15.03.2010: materiał z zad. 1-40

24. Dowieść, że liczba \sqrt{\frac{3}{5}} jest niewymierna.

25. Dowieść, że liczba log_{12}18 jest niewymierna.

26. Rozstrzygnąć, czy liczba log_{2}3 + log_{4}5 jest wymierna, czy niewymierna.

27. Dowieść, że liczba \sqrt{\sqrt{7} − \sqrt{5}} jest niewymierna.

28. Oszustwo

Zadanie: Dowieść, że liczba \sqrt{3 − \sqrt{8}} − \sqrt{2} jest niewymierna. Rozwiązanie I: Liczba −\sqrt{2} jest niewymierna. Także liczba \sqrt{3 − \sqrt{8}} jest niewymierna, bo gdyby była

wymierna, to jej kwadrat 3 − \sqrt{8} też byłby liczbą wymierną, a nie jest. Zatem liczba \sqrt{3 − \sqrt{8}} − \sqrt{2} jest niewymierna jako suma liczb niewymiernych.

Rozwiązanie II: Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy, że liczba \sqrt{3 − \sqrt{8}} − \sqrt{2} jest wymierna i

oznaczmy ją przez w. Wtedy

w = \sqrt{3 − \sqrt{8}} − \sqrt{2}
w + \sqrt{2} = \sqrt{3 − \sqrt{8}}
w^{2} + 2\sqrt{2}w + 2 = 3 − 2\sqrt{2}
2\sqrt{2}(w + 1) + (w − 1)(w + 1) = 0

Dzieląc ostatnią równość przez w + 1 otrzymujemy

2\sqrt{2} + w − 1 = 0,

co stanowi sprzeczność z założeniem wymierności liczby w, gdyż lewa strona równości jest liczbą niewymierną i nie może być równa 0.

Czy powyższe rozwiązania są poprawne?

29. Dowieść, że liczba \sqrt{2} + ^{3} \sqrt{3} jest niewymierna.

30. Dowieść, że liczba ^{3} \sqrt{2} + ^{3} \sqrt{3} jest niewymierna.

31. Zagadka

O liczbie a wiadomo, że jest niewymierna. O liczbie b wiadomo, że jest wymierna oraz że ab też jest liczba wymierną. Czy wiesz już jaką liczbą jest b?

32. Udowodnij, że jeśli a + 2b oraz 3a + b sa wymierne, to a i b też są wymierne.

33. Sprawdź czy jeśli ab^{2} oraz a^{3}b są niezerowe i wymierne, to a i b tez muszą być wymierne.

34. Udowodnij, że jesli a^{2} + 2a oraz a^{3} są wymierne, to a też jest wymierna.

35. Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami wymiernymi a < b leży liczba wymierna c, tzn. a < c < b.

36. Udowodnij, że pomiędzy dowolną liczba wymierną i niewymierną leży liczba niewymierna.

37. Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami niewymiernymi a < b leży liczba wymierna.

Wskazówka: Najpierw zauważ, że istnieje liczba naturalna n, taka że \frac{1}{n} < b−a, a potem znajdź najmniejszą liczbę naturalną m, taką że a < \frac{m}{n}.

38. Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi leży liczba wymierna.

Wskazówka: Korzystaj wyłącznie z zadań 35 - 37.

39. Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi leży liczba niewymierna.

Wskazówka: Użyj poprzedniego zadania i kreatywnego mnożenia.

40. Zadanie edukacyjne

Spróbuj zbadać, czy liczba \sqrt{2} + log_{2}3 jest wymierna. Co Ci podpowiada intuicja?