\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 2}}
\def\postfoot{{\it Strony 3-4}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=24
\setcounter{page}{3}
{\centerline{\large \bf Liczby rzeczywiste, liczby wymierne i niewymierne.}}

\ss

%\noindent{\small Wykład: zad. 1-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40}

\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 2: zad. 24-40\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium nr 2, 15.03.2010: materiał z zad. 1-40}

\sss

\nn Dowieść, że liczba
${\sqrt{\frac35}}$
jest niewymierna.

\nn Dowieść, że liczba $\log_{12} 18$ jest niewymierna.

\nn Rozstrzygnąć, czy liczba
$\log_2 3+\log_4 5$
jest wymierna, czy niewymierna.

\nn Dowieść, że liczba ${\sqrt{{\sqrt{7}}-{\sqrt{5}}}}$ jest niewymierna.



\nn{\sc Oszustwo} 


{\sc Zadanie}: Dowieść, że  liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$
jest niewymierna.

{\it Rozwiązanie I:}

Liczba $-{\sqrt{2}}$ jest niewymierna.
Także liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}$
jest niewymierna, bo gdyby była wymierna, to jej kwadrat 
${{3-{\sqrt {8}}}}$
też byłby liczbą wymierną, a nie jest.
Zatem liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$
jest niewymierna jako suma liczb niewymiernych.

{\it Rozwiązanie II:}

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy, że liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$
jest wymierna i oznaczmy ją przez $w$. Wtedy
$$w={\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$$
$$w+{\sqrt{2}}={\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}$$
$$w^2+2{\sqrt{2}}w+2=3-2{\sqrt {2}}$$
$$2{\sqrt{2}}(w+1)+(w-1)(w+1)=0$$
Dzieląc ostatnią równość przez $w+1$ otrzymujemy
$$2{\sqrt{2}}+w-1=0,$$
co stanowi sprzeczność z założeniem wymierności liczby $w$,
gdyż lewa strona równości jest liczbą niewymierną i nie
może być równa 0.

Czy powyższe rozwiązania są poprawne?

\nn Dowieść, że liczba
${\sqrt{2}}+\sqrt [\scriptstyle 3] 3$
jest niewymierna.

\nn Dowieść, że liczba
$\sqrt [\scriptstyle 3] 2+\sqrt [\scriptstyle 3] 3$ 
jest niewymierna.


\nn{\sc Zagadka} 

O liczbie $a$ wiadomo, że jest niewymierna. O liczbie $b$ wiadomo, że jest wymierna oraz że $ab$ też jest liczba wymierną. Czy wiesz już jaką liczbą jest $b$? 

\nn Udowodnij, że jeśli $a+2b$ oraz $3a+b$ sa wymierne, to $a$ i $b$ też są wymierne.

\nn Sprawdź czy jeśli $ab^2$ oraz $a^3b$ są niezerowe i wymierne, to $a$ i $b$ tez muszą być wymierne.

\nn Udowodnij, że jesli $a^2+2a$ oraz $a^3$ są wymierne, to $a$ też jest wymierna.

\newpage

\nn Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami wymiernymi $a<b$ leży liczba wymierna $c$, tzn. $a<c<b$.

\nn Udowodnij, że pomiędzy dowolną liczba wymierną i niewymierną leży liczba niewymierna.

\nn Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami niewymiernymi $a<b$ leży liczba wymierna. 
\ss
{\bf Wskazówka:} Najpierw zauważ, że istnieje liczba naturalna $n$, taka że $\frac1n<b-a$, a potem znajdź najmniejszą liczbę naturalną $m$, taką że $a<\frac mn$.

\nn Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi leży liczba wymierna. 
\ss
{\bf Wskazówka:} Korzystaj wyłącznie z zadań 35 - 37.

\nn Udowodnij, że pomiędzy każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi leży liczba niewymierna. 
\ss
{\bf Wskazówka:} Użyj poprzedniego zadania i kreatywnego mnożenia.

\nn{\sc Zadanie edukacyjne} 

Spróbuj zbadać, czy liczba $\sqrt2 + \log_2 3$ jest wymierna. Co Ci podpowiada intuicja?


 



\end{document}



