\documentstyle[12pt,an2009,emlines2,twoside]{iarticle}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 2}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\pnn {{\vskip 8.7truept Przyk/lad \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}


\long\def\rozw#1{\medskip{\it Rozwi/azanie:}\\#1}

\nu=41
\setcounter{page}{5}




{\centerline{\large \bf  Liczby rzeczywiste, liczby wymierne i niewymierne.}}

\ss

\noindent{\small Wyk/lad: zad. 41-43\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Konwersatorium 15.10.2009: zad. 39-40}

\noindent{\small /Cwiczenia 14.10.2009: zad. 50-59\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium nr 2, 20.10.2009: materia/l z zad. 1-59}

\sss


\nn Dowie/s/c, /ze nie istnieje liczba wymierna dodatnia, kt/orej kwadrat jest r/owny 2.

\nn Czy liczba $0,(9)=0,999999\ldots$ jest wymierna czy niewymierna?

\nn Niech
$$x=1+3+9+27+81+243+\ldots$$
W/owczas
$$x=1+3\cdot1+3\cdot3+3\cdot9+3\cdot27+3\cdot81+3\cdot243+\ldots=$$ $$=1+3\cdot(1+3+9+27+81+243+\ldots)=1+3x\;,$$
sk/ad $x=-1//2$.

Jak to mo/zliwe, /ze suma liczb ca/lkowitych dodatnich jest ujemna i nieca/lkowita?


\sss


Zadania 44-48 to proste zadanka rachunkowe. Na /cwiczeniach prawdopodobnie wystarczy tylko
por/owna/c wyniki.

\nn Przedstawi/c liczb/e 0,123(45) w postaci u/lamka zwyk/lego.

\nn Przedstawi/c liczb/e 0,1(270) w postaci u/lamka zwyk/lego.

Obliczy/c podaj/ac wynik w postaci u/lamka zwyk/lego
\ny ${\sqrt{0,(4)}}+{\root \scriptstyle
3 \of {3,374(9)}}$
\ny $(0,2(9)+1,(09))\cdot 12,(2)$
\ny 
$(0,(037))^{0,(3)}$
 
\pnn Dowie/s/c, /ze liczba $\log_2 3$ jest niewymierna.

\rozw{
Przeprowadzimy dow/od nie wprost. Za/l/o/zmy, /ze liczba $\log_2 3$ jest wymierna
i niech $m//n$ b/edzie jej przedstawieniem w postaci ilorazu liczb naturalnych (zauwa/zmy, /ze jest to liczba dodatnia).
Wowczas otrzymujemy kolejno
$$\log_2 3={m\over n}$$
$$2^{m//n}=3$$
$$2^m=3^n\;.$$
Ta ostatnia r/owno/s/c nie jest jednak mo/zliwa, gdy/z liczba $2^m$ jest parzysta, a liczba $3^n$ nieparzysta. Otrzymana sprzeczno/s/c dowodzi, /ze liczba $\log_2 3$ nie jest liczb/a wymiern/a.
}

\nn Dowie/s/c, /ze liczba $\log_{12} 18$ jest niewymierna.


\nn Dowie/s/c, /ze liczba
${\sqrt{15}}$
jest niewymierna.

\nn Dowie/s/c, /ze liczba
${\sqrt{2}}+{\sqrt{3}}$
jest niewymierna.


\nn Dowie/s/c, /ze liczba
${\sqrt{\log_4 25}}$
jest niewymierna.

\nn Dowie/s/c, /ze liczba
$\sqrt [\scriptstyle 3] 2+\sqrt [\scriptstyle 3] 3$ 
jest niewymierna.


\nn Rozstrzygn/a/c, czy liczba
$\log_2 3+\log_4 5$
jest wymierna, czy niewymierna.


\nn Dowie/s/c, /ze liczba ${\sqrt{{\sqrt{7}}-{\sqrt{5}}}}$ jest niewymierna.

\sss
{\sc Oszustwo} \nx


{\sc Zadanie}: Dowie/s/c, /ze  liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$
jest niewymierna.

{\it Rozwi/azanie I:}

Liczba $-{\sqrt{2}}$ jest niewymierna.
Tak/ze liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}$
jest niewymierna, bo gdyby by/la wymierna, to jej kwadrat 
${{3-{\sqrt {8}}}}$
te/z by/lby liczb/a wymiern/a, a nie jest.
Zatem liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$
jest niewymierna jako suma liczb niewymiernych.

{\it Rozwi/azanie II:}

Przeprowadzimy dow/od nie wprost. Za/l/o/zmy, /ze liczba
${\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$
jest wymierna i oznaczmy j/a przez $w$. Wtedy
$$w={\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}-{\sqrt{2}}$$
$$w+{\sqrt{2}}={\sqrt{3-{\sqrt {8}}}}$$
$$w^2+2{\sqrt{2}}w+2=3-2{\sqrt {2}}$$
$$2{\sqrt{2}}(w+1)+(w-1)(w+1)=0$$
Dziel/ac ostatni/a r/owno/s/c przez $w+1$ otrzymujemy
$$2{\sqrt{2}}+w-1=0,$$
co stanowi sprzeczno/s/c z za/lo/zeniem wymierno/sci liczby $w$,
gdy/z lewa strona r/owno/sci jest liczb/a niewymiern/a i nie
mo/ze by/c r/owna 0.

Czy powy/zsze rozwi/azania s/a poprawne?

\nn
Dowie/s/c, /ze nie istnieje liczba wymierna $q$ spe/lniaj/aca r/owno/s/c
$$q^q=5\;.$$


\nn Chcemy zlokalizowa/c po/lo/zenie wzgl/edem
liczb wymiernych, liczby rzeczywistej $q>1$ spe/lniaj/acej r/ownanie z poprzedniego zadania.
Dla dowolnej liczby wymiernej postaci $m//n$, gdzie $m$ jest liczb/a ca/lkowit/a, a $n$ liczb/a naturaln/a,
zapisa/c warunki $m//n<q$ oraz $m//n>q$ u/zywaj/ac tylko liczb $m$, $n$, dzia/la/n na liczbach ca/lkowitych,
znak/ow nier/owno/sci
i ewentualnie symboli logicznych.

Wykorzysta/c te warunki do por/ownania liczby $q$ z liczbami 5//2 oraz 25//12 (bez u/zycia kalkulatora, korzystaj/ac z nier/owno/sci typu: $25<27$, $125<128$).

 





\end{document}



