Szacowania.

Ćwiczenia tydzień 3: zad. 40-75 Kolokwium nr 3, 22.03.2010: materiał z zad. 1-75

41. Udowodnij, że 1, 7 < \sqrt{3} < 1, 8.

42. Udowodnij, że 3 < π < 2\sqrt{3}.

43. Która z liczb jest większa

a) 2^{1000!} czy 999^{999!} ?

b) 26^{99} czy 10^{151} ?

c) 26^{99} czy 123^{65} ?

44. Niech a = ^{16} \sqrt{2}. Która z liczb jest większa

a^{256} czy 256^{a} ?

45. Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej

a = (5 − \sqrt{37})^{2008}

b = (6 − \sqrt{37})^{2009}

c = (7 − \sqrt{73})^{2011}

d = (9 − \sqrt{73})^{2013}

46. Która z liczb jest większa 2^{2^{2^{1001}}} czy 1000^{2^{2^{1000}}} ?

Uwaga: Zgodnie z obowiązującą konwencją, w napisie typu a^{b^{c}} potęgowanie wykonuje się od góry, tzn.

a^{b^{c}} = a^{(b^{c})} .

47. Która z liczb jest większa (\frac{9}{4})^{\frac{9}{4}} czy 6 ?

W rozwiązaniu wolno korzystać z własności potęgowania, wolno wykonywać obliczenia na liczbach naturalnych mniejszych od 100 oraz wolno wykorzystać równości 2^{11} = 2048 i 3^{7} = 2187.

48. Która z liczb jest większa 45^{13} czy 2^{72} ? W rozwiązaniu wolno korzystać z własności potęgowania oraz wolno wykonywać obliczenia

na liczbach naturalnych mniejszych od 300.

49. Udowonij, że dla naturalnych n ≥ 4

n^{2} ≤ 2^{n} .

50. Dla ustalonej liczby naturalnej M wskazać taką liczbę naturalną n > 1, że

n^{M} ≤ 2^{n} .

Wskazując odpowiednią liczbę całkowitą k udowodnić nierówności 10^{k} < L < 10^{2k}.

51. L = 3972^{257} 52. L = 257^{3972} 53. L = 700!

54. Dla dodatnich liczb rzeczywistych a oraz b znajdź ograniczenie dolne wyrażenia

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} .

55. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a oraz b znajdź ograniczenie górne wyrażenia

\frac{ab}{a^{2} + 4b^{2}} .

Wskazując odpowiednie liczby dodatnie C, D udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności C < W (n) < D.

56. W (n) = \frac{n^{4} + 16n + 3}{2n^{4} + 7n^{2}} 57. W (n) = \frac{13n^{2} − 10n + 3}{2n^{2} + 7n − 1} 58. W (n) = \frac{\sqrt{n + 7} + 3}{\sqrt{n + 3} + 7}

59. W (n) = \frac{n}{n^{2} − 3n + 1} 60. W (n) = \sqrt{n^{2} + n} − n 61. W (n) = ^{3} \sqrt{n^{3} + n^{2}} − n

Wskazując odpowiednie liczby dodatnie C, D oraz liczbę rzeczywistą k udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C · n^{k} < W (n) < D · n^{k} .

62. W (n) = \frac{n^{7} + 10n^{3} + 3}{n^{4} + 37} 63. W (n) = \frac{5n^{8} − n^{4} + 3}{5n^{10} − 4} 64. W (n) = \frac{n^{6} + 2n^{4} + 1}{\sqrt{n} + 2}

65. W (n) = \frac{n^{3} + 2n^{2} + 1}{\sqrt{n^{6} + 2} + 2} 66. W (n) = \frac{2n^{3} − n^{2} + 1}{^{3} \sqrt{n^{2} + 1} + 1} 67. W (n) = \frac{\sqrt[5]{n^{2} + 1}}{^{7} \sqrt{n^{3} + 1} + 1}

Wskazując odpowiednią liczbę dodatnią C udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

1 − \frac{C}{n} < W (n) < 1 + \frac{C}{n} .

68. W (n) = \frac{n^{2} + 2n + 3}{n^{2} + 7n + 2} 69. W (n) = \frac{3n^{2} − 2n + 3}{3n^{2} + 7n − 2} 70. W (n) = \frac{\sqrt{4n^{2} + 1}}{2n + 1}

Wskazując odpowiednie liczby dodatnie C, g udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

g − \frac{C}{n} < W (n) < g + \frac{C}{n} .

71. W (n) = \frac{2n^{2} + 2n + 3}{3n^{2} + 7n + 2} 72. W (n) = \frac{4n^{2} − 2n + 3}{2n^{2} + 7n − 2} 73. W (n) = \frac{\sqrt{4n^{2} + 1}}{3n + 1}

74. W (n) = \sqrt{n^{2} + n} − n 75. W (n) = ^{3} \sqrt{n^{3} + n^{2}} − n