\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[polish]{babel} \fontencoding{T1} \usepackage[utf8]{inputenc} \addtolength{\textwidth}{2cm} \begin{document} \abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt \belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt \def\ss{\vskip10truept} %\baselineskip=.205in \def\prefoot{{\it Lista 3}} \def\postfoot{{\it Strony 5-6}} \font\smr=plr7 scaled\magstep0 \font\hsmr=plr9 scaled\magstep0 \font\srm=plr7 scaled\magstep0 \font\sc=plcsc10 scaled\magstep1 \font\ssrm=plr5 scaled\magstep0 \long\def\rozw#1{} \long\def\odp#1{} \def\coto{Zadania} \def\ln {{\hbox{ln}}} \def\log {{\hbox{log}}} \def\sln {{\hbox{\srm ln}}} \def\slog {{\hbox{\srm log}}} \def\arctg {{\hbox{arctg}}} \def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}} \def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}} \def\sgn {{\hbox{sgn}}} \def\fora{\mathop{\forall}} \def\exi{\mathop{\exists}} \def\maps{\longrightarrow} \def\imply{\Rightarrow} \def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule \strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}} \def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept} \def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}} \def\sss{\vskip 14truept} \newcount\nu \def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \def\nz {{\hskip -2truept \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \nu=41 \setcounter{page}{5} {\centerline{\large \bf Szacowania.}} \ss %\noindent{\small Wykład: zad. 1-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ %\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ %Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40} \noindent{\small Ćwiczenia tydzień 3: zad. 40-\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Kolokwium nr 3, 22.03.2010: materiał z zad. 1-} \sss \nn Udowodnij, że $1,7 < \sqrt 3 <1,8$. \nn Udowodnij, że $3 < \pi < 2\sqrt3$. \nn Która z liczb jest większa \\[5pt]{\bf a)} $\displaystyle 2^{1000!}$ czy $\displaystyle 999^{999!}$\ \ \ ? \\[5pt]{\bf b)} $\displaystyle 26^{99}$ czy $\displaystyle 10^{151}$\ \ \ ? \\[5pt]{\bf c)} $\displaystyle 26^{99}$ czy $\displaystyle 123^{65}$\ \ \ ? %\\[5pt]{\bf d)} $\displaystyle \prod\limits_{i=2}^{2009}\ \ \prod\limits_{j=1}^{i-1}\left(\sqrt[\scriptstyle j]j-\sqrt[\scriptstyle i]i\right)$ czy $\displaystyle 10^{-1000000}$\ \ \ ? \nn Niech $a=\sqrt[\scriptstyle 16] 2$. Która z liczb jest większa $$ a^{256} \ \ \ \ \ \ {\hbox{czy}} \ \ \ \ \ \ 256^a \; ?$$ \nn Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej $$a=\left(5-\sqrt{37}\right)^{2008}$$ $$b=\left(6-\sqrt{37}\right)^{2009}$$ $$c=\left(7-\sqrt{73}\right)^{2011}$$ $$d=\left(9-\sqrt{73}\right)^{2013}$$ \nn Która z liczb jest większa $2^{2^{2^{1001}}}$ czy $1000^{2^{2^{1000}}}$ ? \ss\ss {\bf Uwaga:} Zgodnie z obowiązującą konwencją, w napisie typu $a^{b^c}$ potęgowanie wykonuje się {\it od góry}, tzn. $$a^{b^c}=a^{(b^c)}\;.$$ \nn Która z liczb jest większa $\displaystyle \left({9\over 4}\right)^{9//4}$ czy $6$ ? W rozwiązaniu wolno korzystać z własności potęgowania, wolno wykonywać obliczenia na liczbach naturalnych mniejszych od 100 oraz wolno wykorzystać równości $2^{11}=2048$ i $3^7=2187$. \nn Która z liczb jest większa $45^{13}$ czy $2^{72}$ ? W rozwiązaniu wolno korzystać z własności potęgowania oraz wolno wykonywać obliczenia na liczbach naturalnych mniejszych od 300. \ss \nn Udowonij, że dla naturalnych $n\ge 4$ $$n^2 \le 2^n\;.$$ \nn Dla ustalonej liczby naturalnej $M$ wskazać taką liczbę naturalną $n$, że $$n^M\le 2^n\;.$$ \ss Wskazując odpowiednią liczbę całkowitą $k$ udowodnić nierówności $10^k