\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 3}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=41
\setcounter{page}{5}
{\centerline{\large \bf Szacowania.}}

\ss

%\noindent{\small Wykład: zad. 1-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40}

\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 3: zad. 40-\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium nr 3, 22.03.2010: materiał z zad. 1-}


\sss

\nn Udowodnij, że $1,7 < \sqrt 3 <1,8$.

\nn Udowodnij, że $3 < \pi < 2\sqrt3$.

\nn Która z liczb jest większa
\\[5pt]{\bf a)} $\displaystyle 2^{1000!}$ czy $\displaystyle 999^{999!}$\ \ \ ?
\\[5pt]{\bf b)} $\displaystyle 26^{99}$ czy $\displaystyle 10^{151}$\ \ \ ?
\\[5pt]{\bf c)} $\displaystyle 26^{99}$ czy $\displaystyle 123^{65}$\ \ \ ?
%\\[5pt]{\bf d)} $\displaystyle \prod\limits_{i=2}^{2009}\ \ \prod\limits_{j=1}^{i-1}\left(\sqrt[\scriptstyle j]j-\sqrt[\scriptstyle i]i\right)$ czy $\displaystyle 10^{-1000000}$\ \ \ ?







\nn Niech $a=\sqrt[\scriptstyle 16] 2$. Która z liczb jest większa
$$
a^{256}
\ \ \ \ \ \ {\hbox{czy}}
\ \ \ \ \ \ 
256^a
\; ?$$

\nn Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej

$$a=\left(5-\sqrt{37}\right)^{2008}$$

$$b=\left(6-\sqrt{37}\right)^{2009}$$

$$c=\left(7-\sqrt{73}\right)^{2011}$$

$$d=\left(9-\sqrt{73}\right)^{2013}$$


\nn Która z liczb jest większa
$2^{2^{2^{1001}}}$ czy $1000^{2^{2^{1000}}}$ ?

\ss\ss
{\bf Uwaga:} Zgodnie z obowiązującą konwencją,
w napisie typu $a^{b^c}$ potęgowanie wykonuje się {\it od góry}, tzn.
$$a^{b^c}=a^{(b^c)}\;.$$

\nn Która z liczb jest większa
$\displaystyle \left({9\over 4}\right)^{9//4}$ czy $6$ ?

W rozwiązaniu wolno korzystać z własności potęgowania,
wolno wykonywać obliczenia na liczbach naturalnych mniejszych od 100
oraz wolno wykorzystać równości
$2^{11}=2048$ i $3^7=2187$.


\nn Która z liczb jest większa
$45^{13}$ czy $2^{72}$ ?

W rozwiązaniu wolno korzystać z własności potęgowania oraz
wolno wykonywać obliczenia na liczbach naturalnych mniejszych od 300.

\ss

\nn Udowonij, że dla naturalnych $n\ge 4$
$$n^2 \le 2^n\;.$$

\nn Dla ustalonej liczby naturalnej $M$ wskazać taką liczbę naturalną $n$, że
$$n^M\le 2^n\;.$$


\ss
 
Wskazując odpowiednią liczbę całkowitą $k$ udowodnić nierówności $10^k<L<10^{2k}$.

\ny $L=3972^{257}$  
\nx $L=257^{3972}$  
\nx $L=700!$  

\ss

Wskazując odpowiednie liczby wymierne dodatnie $C$, $D$ udowodnić, że
dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzą nierówności $C<W(n)<D$.

\ny $\displaystyle W(n)={n^4+16n+3\over 2n^4+7n^2}$
\nx $\displaystyle W(n)={13n^2-10n+3\over 2n^2+7n-1}$
\nx $\displaystyle W(n)={\sqrt{n+7}+3\over \sqrt{n+3}+7}$
\ny $\displaystyle W(n)={7^n+6^n+2^n\over 7^n+5^n+3^n}$
\nx $\displaystyle W(n)=\sqrt{n^2+n}-n$
\nx $\displaystyle W(n)=\sqrt[\scriptstyle 3]{n^3+n^2}-n$

\ss

Wskazując odpowiednie liczby wymierne dodatnie $C$, $D$ oraz liczbę rzeczywistą $k$ udowodnić, że
dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzą nierówności $$C\cdot n^k<W(n)<D\cdot n^k\;.$$

\ny $\displaystyle W(n)={n^7+10n^3+3\over n^4+37}$
\nx $\displaystyle W(n)={5n^8-n^4+3\over 5n^{10}-4}$
\nx $\displaystyle W(n)={n^6+2n^4+1\over \sqrt{n}+2}$
\ny $\displaystyle W(n)={n^3+2n^2+1\over \sqrt{n^6+2}+2}$
\nx $\displaystyle W(n)={2n^3-n^2+1\over \sqrt[\scriptstyle 3]{n^2+1}+1}$
\nx $\displaystyle W(n)={\sqrt[\scriptstyle 5]{n^2+1}\over \sqrt[\scriptstyle 7]{n^3+1}+1}$

\ss
Wskazując odpowiednią liczbę wymierną dodatnią $C$ udowodnić, że
dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzą nierówności $$1-{C\over n}<W(n)<1+{C\over n}\;.$$

\ny $\displaystyle W(n)={n^2+2n+3\over n^2+7n+2}$
\nx $\displaystyle W(n)={3n^2-2n+3\over 3n^2+7n-2}$
\nx $\displaystyle W(n)={\sqrt{4n^2+1}\over 2n+1}$

\ss
Wskazując odpowiednie liczby wymierne dodatnie $C$, $g$ udowodnić, że
dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzą nierówności $$g-{C\over n}<W(n)<g+{C\over n}\;.$$

\ny $\displaystyle W(n)={2n^2+2n+3\over 3n^2+7n+2}$
\nx $\displaystyle W(n)={4n^2-2n+3\over 2n^2+7n-2}$
\nx $\displaystyle W(n)={\sqrt{4n^2+1}\over 3n+1}$
\ny $\displaystyle W(n)=\sqrt{n^2+n}-n$
\nx $\displaystyle W(n)=\sqrt[\scriptstyle 3]{n^3+n^2}-n$






\end{document}



