Ciągi.

Ćwiczenia tydzień 4: zad. 76-131 Kolokwium nr 4, 29.03.2010: materiał z zad. 1- 131

Trochę teorii Definicja: Ciąg (a_{n}) jest zbieżny do granicy g wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_{ε>0} ∃_{N} ∀_{n≥N} |a_{n} − g| < ε .

Piszemy lim_{n→∞} a_{n} = g lub a_{n} → g.

Ciąg (a_{n}) jest rozbieżny do +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_{M} ∃_{N} ∀_{n≥N} a_{n} > M.

Piszemy lim_{n→∞} a_{n} = +∞ lub a_{n} → +∞ (można też opuścić “+”).

Ciąg (a_{n}) jest rozbieżny do −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_{M} ∃_{N} ∀_{n≥N} a_{n} < M.

Piszemy lim_{n→∞} a_{n} = −∞ lub a_{n} → −∞.

Twierdzenia:

0. Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę i jest ograniczony.

1. Monotoniczny ciąg ograniczony jest zbieżny.

2. Granica sumy jest sumą granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_{n}) i (b_{n}) są zbieżne, to ciąg (a_{n} + b_{n}) jest zbieżny i

lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} + lim_{n→∞} b_{n} .

3. Granica różnicy jest różnicą granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_{n}) i (b_{n}) są zbieżne, to ciąg (a_{n} − b_{n}) jest zbieżny i

lim_{n→∞}(a_{n} − b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} − lim_{n→∞} b_{n} .

4. Granica iloczynu jest iloczynem granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_{n}) i (b_{n}) są zbieżne, to ciąg (a_{n}b_{n}) jest zbieżny i

lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} · lim_{n→∞} b_{n} .

5. Granica ilorazu jest ilorazem granic.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_{n}) i (b_{n}) są zbieżne, przy czym b_{n} ≠ 0 oraz lim_{n→∞} b_{n} ≠ 0, to ciąg (\frac{a_{n}}{b_{n}}) jest zbieżny i

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{lim_{n→∞} a_{n}}{lim_{n→∞} b_{n}} .

6. Zbieżność i granica nie zależą od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów ciągu.

7. Słabe nierówności zachowują się przy przejściu do granicy.

Dokładniej, jeśli ciągi (a_{n}) i (b_{n}) są zbieżne, przy czym a_{n} ≤ b_{n} (odpowiednio a_{n} ≥ b_{n}), to lim_{n→∞} a_{n} ≤ lim_{n→∞} b_{n} (odpowiednio lim_{n→∞} a_{n} ≥ lim_{n→∞} b_{n}).

8. Kilka podstawowych granic.

lim_{n→∞} n = +∞

lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0

lim_{n→∞} a = a

lim_{n→∞} a^{n} = +∞ dla a > 1

lim_{n→∞} a^{n} = 0 dla |a| < 1

lim_{n→∞}(−1)^{n} nie istnieje nawet w sensie granicy niewłaściwej

lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1 dla a > 0

lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1

9. Z granicą można wchodzić pod pierwiastek.

Dokładniej, jeśli ciąg (a_{n}) jest zbieżny, przy czym a_{n} ≥ 0, to dla k ∈ ℕ

lim_{n→∞} \sqrt[k]{a_{n}} = \sqrt[k]{lim_{n→∞} a_{n}} .

10. Twierdzenie o trzech ciągach.

Jeżeli ciągi (a_{n}), (b_{n}), (c_{n}) spełniają warunek

a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n}

oraz ciągi (a_{n}) i (c_{n}) są zbieżne do tej samej granicy g, to ciąg (b_{n}) też jest zbieżny i jego granicą jest g.

11. Kryterium d’Alemberta.

Jeżeli (a_{n}) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = g < 1 ,

to ciąg (a_{n}) jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = g > 1 ,

to ciąg (a_{n}) jest rozbieżny, a ciąg (|a_{n}|) jest rozbieżny do +∞.

Uwaga: Podstawowym zastosowaniem kryterium d’Alemberta jest badanie zbieżności szeregów, ale podana wyżej wersja stosuje się do badania zbieżności ciągów. O szeregach będzie mowa za kilka tygodni.

Powyższe własności zachowują się w przypadku ciągów mających granice niewłaściwe (tzn. rozbieżnych do ± ∞), o ile nie prowadzi to do wyrażeń nieoznaczonych.

13. Sztuczki oparte na wzorach skróconego mnożenia.

\sqrt{x} − \sqrt{y} = \frac{x − y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}

\sqrt[3]{x} − \sqrt[3]{y} = \frac{x − y}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^{2}}}

Zadania Podaj kolejny wyraz ciągu i wzór na wyraz ogólny

76. 2, -2, 2, -2, 2, ? 77. 4, 7, 10, 13, 16, ? 78. 1, −\frac{3}{2}, \frac{9}{4}, −\frac{27}{8}, \frac{81}{16},?

79. 2, 6, 12, 20, 30, ? 80. \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{5}{7},? 81. 1, \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{4}, 4, \frac{1}{6}, 8, \frac{1}{8},?,?

82. Korzystając z definicji udowodnij, że ciąg a_{n} = \frac{n}{n+2} dązy do 1.

83. Udowodnij, że a_{n} → 0 wtedy i tylko wtedy gdy |a_{n}| → 0.

84. Udowodnij, że granica sumy ciągów zbieznych jest sumą ich granic.

85. Udowodnij, że granica iloczynu ciągów zbieznych jest iloczynem ich granic.

86. Wiedząc, że a_{n} + b_{n} → 3 oraz 2a_{n} − b_{n} → 3 udowodnij, że ciągi a_{n} i b_{n} są zbieżne i znajdź ich granicę.

87. Udowodnij, że ciąg zadany wzorem rekurencyjnym a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + 1 jest monotoniczny i ograniczony. Znajdź jego granicę.

88. Udowodnij, że ^{n} \sqrt{a} → 1 dla a > 0.

89. Udowodnij, że ^{n} \sqrt{n} → 1. (Wskazówka: \frac{c^{n}}{n} → ∞ więc c^{n} > n dla c > 1 i n ≥ N) Zbadać zbieżność ciągu (a_{n}) określonego podanym wzorem; obliczyć granice ciągów zbie-

żnych, rozstrzygnąć czy ciągi rozbieżne mają granicę niewłaściwą

90. \frac{n}{n + 7} 91. 2^{n} − \frac{1}{n} 92. \frac{4n^{2} + 3n}{n + 1} 93. \frac{\sqrt[3]{n^{2} + n}}{n + 2} 94. \frac{5n^{3} + n^{2} − 6}{3n^{4} + 7}

95. \frac{5n^{4} + n^{2} − 6}{3n^{4} + 7} 96. \frac{5n^{5} + n^{2} − 6}{3n^{4} + 7} 97. \frac{1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... − 2n}{\sqrt{n^{2} + 2}}

98. \frac{1 + 2 + 4 + ... + 2^{n}}{1 + 3 + 9 + ... + 3^{n}} 99. \frac{n}{1 + \sqrt{n}} 100. n · (−1)^{n} 101. \frac{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})^{7}}{n^{3}(1 + 7\sqrt{n + 2})}

102. \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n^{2}} 103. \frac{3^{0} + 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n}}{3^{n}} 104. \begin{matrix}√ & \overline{3^{n} + 2^{n}} \\ √ & \overline{3^{n} + 1} \end{matrix} 105. \sqrt[n^{2}]{n}

106. \sqrt[n]{n^{2}} 107. \sqrt[n]{n + 17} 108. \sqrt{n^{2} + 3n} − n 109. n(\sqrt{n^{2} + 7} − n)

110. \frac{7n + (\sqrt[3]{n}\sqrt[6]{n})^{5}\sqrt{9n + 1}}{11n^{3} + 7n + 3} 111. \frac{(−1)^{n}}{n} 112. \frac{1}{(2 + (−1)^{n})^{n}}

113. a_{n} = \{ \begin{matrix}(−1)^{n} · n! dla n ≤ 100 \\ \frac{2^{n}}{2^{n}+n} dla n > 100 \end{matrix} 114. \frac{n^{2} + 1}{n^{3} + 1} + \frac{n^{2} + 2}{n^{3} + 2} + \frac{n^{2} + 3}{n^{3} + 3} + ... + \frac{n^{2} + n}{n^{3} + n}

115. \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2} + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2} + ... + \frac{1}{(n + 1)^{2}} 116. \frac{n^{7}}{7^{n}} 117. \frac{10^{n}}{n!} 118. \frac{n!}{n^{22}}

119. \begin{matrix}√ & \overline{3^{n} + n^{2}} \\ √ & \overline{3^{n} + 2^{n} + 1} \end{matrix} 120. \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{\sqrt{n + 7} − \sqrt{n}} 121. \frac{\sqrt{n^{2} + 1} − n}{(\sqrt{n^{2} + n + 1} − n)^{2}}

PRAWDA CZY FAŁSZ?

122. Jeżeli ciągi (a_{n}) i (b_{n}) są rozbieżne, to ciąg (a_{n} + b_{n}) jest rozbieżny.

123. Jeżeli ciąg (a_{n}) jest zbieżny, a ciąg (b_{n}) rozbieżny, to ciąg (a_{n} + b_{n}) jest rozbieżny.

124. Jeżeli ciąg (a_{n}) jest zbieżny, a ciąg (b_{n}) rozbieżny, to ciąg (a_{n}b_{n}) jest rozbieżny.

125. Jeżeli ciąg (a_{n}) jest zbieżny, ciąg (b_{n}) rozbieżny, a ponadto obydwa ciągi mają tylko wyrazy dodatnie, to ciąg (a_{n}b_{n}) jest rozbieżny.

126. Jeżeli (a_{n}) jest ciągiem zbieżnym o wyrazach dodatnich, to jego granica jest liczbą dodatnią.

127. Jeżeli \frac{a_{n+1}}{a_{n}} → \frac{1}{2}, to a_{n} → \frac{1}{2}.

128. Jeżeli ciąg (\frac{a_{n+1}}{a_{n}}) jest zbieżny, to ciąg (a_{n}) jest zbieżny.

129. Jeżeli ciąg (a_{n}^{2}) jest zbieżny, to ciąg (a_{n}) jest zbieżny.

130. Jeżeli wśród wyrazów ciągu (a_{n}) występują zarówno wyrazy dodanie jak i ujemne, to ciąg (a_{n}) jest rozbieżny.

131. Jeżeli wśród wyrazów ciągu (a_{n}) występują zarówno wyrazy mniejsze od 1 jak i większe od 3, to ciąg (a_{n}) jest rozbieżny.