\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\textheight}{1cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 3}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\N{\mathbb{N}}
\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=76
\setcounter{page}{7}
{\centerline{\large \bf Ciągi.}}

\ss

%\noindent{\small Wykład: zad. 1-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40}

\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 4: zad. 76-131\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium nr 4, 29.03.2010: materiał z zad. 1- 131 }


\sss


{\bf Trochę teorii}

\ss
{\sc Definicja:} Ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do granicy $g$
wtedy i tylko wtedy, gdy
$$\fora\limits_{\varepsilon>0}\exi\limits_{N}\fora\limits_{n\ge N}
|a_n-g|<\varepsilon\ .$$
Piszemy $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=g$ lub $a_n\to g$.

Ciąg $(a_n)$ jest {\bf rozbieżny} do $+\infty$
wtedy i tylko wtedy, gdy
$$\fora\limits_{M}\exi\limits_{N}\fora\limits_{n\ge N}
a_n>M .$$
Piszemy $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty$ lub $a_n\to +\infty$ (można też opuścić ``+'').

Ciąg $(a_n)$ jest {\bf rozbieżny} do $-\infty$
wtedy i tylko wtedy, gdy
$$\fora\limits_{M}\exi\limits_{N}\fora\limits_{n\ge N}
a_n<M .$$
Piszemy $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty$ lub $a_n\to -\infty$.

\ss

{\sc Twierdzenia}:
\ss

0. {\sc Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę i jest ograniczony.}

\ss

1. {\sc Monotoniczny ciąg ograniczony jest zbieżny.}

\ss
2. {\sc Granica sumy jest sumą granic.}

Dokładniej, jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, to
ciąg $(a_n+b_n)$ jest zbieżny i 
$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n+
\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ .$$
\ss

3. {\sc Granica różnicy jest różnicą granic.}

Dokładniej, jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, to
ciąg $(a_n-b_n)$ jest zbieżny i 
$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n-
\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ .$$
\ss

4. {\sc Granica iloczynu jest iloczynem granic.}

Dokładniej, jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, to
ciąg $(a_nb_n)$ jest zbieżny i 
$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\cdot
\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ .$$

\ss

5. {\sc Granica ilorazu jest ilorazem granic.}

Dokładniej, jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, przy
czym $b_n\not=0$ oraz $\lim\limits_{n\to\infty}b_n\not=0$,
to
ciąg $({a_n\over b_n})$ jest zbieżny i 
$$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n\over b_n}={\lim\limits_{n\to\infty}a_n\over
\lim\limits_{n\to\infty}b_n}\ .$$

\ss

6. {\sc Zbieżność i granica nie zależą od pominięcia lub
zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów ciągu.}

\ss

7. {\sc Słabe nierówności zachowują się przy przejściu do
granicy.}

Dokładniej, jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, przy
czym $a_n\le b_n$ (odpowiednio $a_n\ge b_n$),
to $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le\lim\limits_{n\to\infty}b_n$
(odpowiednio
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\ge\lim\limits_{n\to\infty}b_n$).
\ss

8. {\sc Kilka podstawowych granic.}

$\lim\limits_{n\to\infty}n=+\infty$

$\lim\limits_{n\to\infty}{1\over n}=0$

$\lim\limits_{n\to\infty}a=a$

$\lim\limits_{n\to\infty}a^n=+\infty$ dla $a>1$

$\lim\limits_{n\to\infty}a^n=0$ dla $|a|<1$

$\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n$ nie istnieje nawet w sensie
granicy niewłaściwej

$\lim\limits_{n\to\infty}{\root \scriptstyle n\of a }=1$ dla $a>0$

$\lim\limits_{n\to\infty}{\root \scriptstyle n\of n }=1$

\ss
9. {\sc Z granicą można wchodzić pod pierwiastek.}

Dokładniej, jeśli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny, przy
czym $a_n\ge 0$, to dla $k\in\N$
$$\lim\limits_{n\to\infty}{\root \scriptstyle k\of {a_n}}=
{\root \scriptstyle k\of{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}}
\ .$$

\ss
10. {\sc Twierdzenie o trzech ciągach.}

Jeżeli ciągi $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ spełniają warunek
$$a_n\le b_n\le c_n$$
oraz ciągi $(a_n)$ i $(c_n)$ są zbieżne do tej samej granicy
$g$, to ciąg $(b_n)$ też jest zbieżny i jego granicą jest $g$.

\ss
11. {\sc Kryterium d'Alemberta.}

Jeżeli $(a_n)$ jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz
istnieje granica
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|=g<1
\ ,$$ 
to ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|=g>1
\ ,$$ 
to ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny, a ciąg $(|a_n|)$ jest
rozbieżny do $+\infty$.

\ss

{\bf Uwaga:} Podstawowym zastosowaniem kryterium d'Alemberta jest badanie
zbieżności szeregów, ale podana wyżej wersja stosuje się do badania zbieżności
ciągów. O szeregach będzie mowa za kilka tygodni.



\ss
{\bf Powyższe własności zachowują się w przypadku ciągów
mających granice niewłaściwe (tzn. rozbieżnych do
$\bf\pm\infty$), o ile nie prowadzi to do wyrażeń nieoznaczonych.}

%\ss

%12. {\sc Nierówność trójkąta.}

%$$|a\pm b|\le |a|+|b|$$

\ss
13. {\sc Sztuczki oparte na wzorach skróconego mnożenia.}

$$\sqrt x-\sqrt y={x-y\over \sqrt x+\sqrt y}$$

$${\root \scriptstyle3 \of {x}}-
{\root \scriptstyle3 \of {y}}=
{x-y\over
{\root \scriptstyle3 \of {x^2}}+
{\root \scriptstyle3 \of {xy}}+
{\root \scriptstyle3 \of {y^2}}}$$


\newpage
{\bf Zadania}

\ss

Podaj kolejny wyraz ciągu i wzór na wyraz ogólny

\ny 2, -2, 2, -2, 2, ?
\nx 4, 7, 10, 13, 16, ?
\nx $1,-\frac32,\frac94,-\frac {27}8,\frac {81}{16},?$
\ny 2, 6, 12, 20, 30, ?
\nx $\frac 13,\frac12,\frac35,\frac23,\frac57,?$
\nx $1,\frac12,2,\frac14,4,\frac16,8,\frac18, ?, ?$

\nn Korzystając z definicji udowodnij, że ciąg $a_n=\frac{n}{n+2}$ dązy do 1.

\nn Udowodnij, że $a_n\to 0$ wtedy i tylko wtedy gdy $|a_n|\to 0$.

\nn Udowodnij, że granica sumy ciągów zbieznych jest sumą ich granic.

\nn Udowodnij, że granica iloczynu ciągów zbieznych jest iloczynem ich granic.

\nn Wiedząc, że $a_n+b_n\to 3$ oraz $2a_n-b_n\to 3$ udowodnij, że ciągi $a_n$ i $b_n$ są zbieżne
i znajdź ich granicę.

\nn Udowodnij, że ciąg zadany wzorem rekurencyjnym $a_1=1$, $a_{n+1}=\frac12 a_n +1$ jest monotoniczny i ograniczony. Znajdź jego granicę.

\nn Udowodnij, że $\sqrt[n]{a} \to 1$ dla $a>0$.

\nn Udowodnij, że $\sqrt[n]{n} \to 1$. ({\sc Wskazówka}: $\frac {c^n}{n} \to \infty$ więc $c^n>n$ dla $c>1$ i $n\ge N$)


\sss
Zbadać zbieżność ciągu $\displaystyle (a_n)$ określonego podanym wzorem;
obliczyć granice
ciągów zbie\-żnych, rozstrzygnąć czy ciągi rozbieżne mają
granicę niewłaściwą

\ny $\displaystyle {n\over n+7}$
\nx $\displaystyle 2^n-{1\over n}$
\nx $\displaystyle {4n^2+3n\over n+1}$
\nx $\displaystyle {{\root \scriptstyle 3 \of {n^2+n}}\over n+2}$
\nx $\displaystyle {5n^3+n^2-6\over 3n^4+7}$
\ny $\displaystyle {5n^4+n^2-6\over 3n^4+7}$
\nx $\displaystyle {5n^5+n^2-6\over 3n^4+7}$
\nx $\displaystyle {1-2+3-4+5-6+...-2n\over{\sqrt{n^2+2}}}$
\ny $\displaystyle {1+2+4+...+2^n\over1+3+9+...+3^n}$
\nx $\displaystyle {n\over 1+{\sqrt{n}}}$
\nx $\displaystyle n\cdot (-1)^n$
\nx $\displaystyle {({\sqrt{n+1}}+{\sqrt{n}})^7\over
n^3(1+7{\sqrt{n+2}})}$
\ny $\displaystyle {1+2+3+...+n\over n^2}$
\nx $\displaystyle {3^0+3^1+3^2+3^3+...+3^n\over 3^n}$
\nx $\displaystyle {{\sqrt{3^n+2^n}}\over{\sqrt{3^n+1}}}$
\nx $\displaystyle {\root \scriptstyle n^2 \of n}$
\ny $\displaystyle {\root \scriptstyle n \of {n^2}}$
\nx $\displaystyle {\root \scriptstyle n \of {n+17}}$
\nx $\displaystyle {\sqrt{n^2+3n}}-n$
\nx $\displaystyle n({\sqrt{n^2+7}}-n)$
\ny $\displaystyle {7n + ({\root \scriptstyle 3 \of n}{\root \scriptstyle 6 \of n})^5
{\sqrt{9n+1}}\over 11n^3+7n+3}$
\nx $\displaystyle {(-1)^n\over n}$
\nx $\displaystyle {1\over (2+(-1)^n)^n}$
\ny $\displaystyle a_n=\left\{
\matrix{
{\displaystyle  {(-1)^n\cdot n! {\ {\hbox{dla}}\ } n\le100}}\cr
{ {{2^n\over2^n+n} {\ {\hbox{dla}}\ } \displaystyle  n>100}}\cr
}\right.$
\nx $\displaystyle 
{n^2+1\over n^3+1}+
{n^2+2\over n^3+2}+
{n^2+3\over n^3+3}+...+
{n^2+n\over n^3+n}$
\ny $\displaystyle 
{1\over n^2}+
{1\over n^2+1}+
{1\over n^2+2}+...+
{1\over (n+1)^2}$
\nx $\displaystyle {n^7\over 7^n}$
\nx $\displaystyle {10^n\over n!}$
\nx $\displaystyle {n!\over n^{22}}$
\ny $\displaystyle {
{\sqrt{3^n+n^2}}
\over{\sqrt{3^n+2^n+1}}}$
\nx $\displaystyle {
{\sqrt{n+1}}-{\sqrt{n}}
\over{\sqrt{n+7}}-{\sqrt{n}}}$
\nx $\displaystyle {
{\sqrt{n^2+1}}-{{n}}
\over({\sqrt{n^2+n+1}}-{{n}})^2}$

\newpage


{\bf PRAWDA CZY FAŁSZ?}

\ny Jeżeli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są rozbieżne, to ciąg
$(a_n+b_n)$ jest rozbieżny.

\ny Jeżeli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny, a ciąg $(b_n)$ rozbieżny, to ciąg
$(a_n+b_n)$ jest rozbieżny.

\ny Jeżeli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny, a ciąg $(b_n)$ rozbieżny, to ciąg
$(a_nb_n)$ jest rozbieżny.

\ny Jeżeli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny, ciąg $(b_n)$
rozbieżny, a ponadto obydwa ciągi mają tylko wyrazy dodatnie, to ciąg
$(a_nb_n)$ jest rozbieżny.

\ny Jeżeli $(a_n)$ jest ciągiem zbieżnym o wyrazach
dodatnich, to jego granica jest liczbą dodatnią.

\ny Jeżeli ${a_{n+1}\over a_n}\to {1\over 2}$, to
$a_n\to{1\over 2}$. 

\ny Jeżeli ciąg $({a_{n+1}\over a_n})$ jest zbieżny, to ciąg
$(a_n)$ jest zbieżny.

\ny Jeżeli ciąg $(a_n^2)$ jest zbieżny, to ciąg
$(a_n)$ jest zbieżny.

\ny Jeżeli wśród wyrazów ciągu $(a_n)$ występują zarówno
wyrazy dodanie jak i ujemne, to ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny.

\ny Jeżeli wśród wyrazów ciągu $(a_n)$ występują zarówno
wyrazy mniejsze od 1 jak i większe od 3, to ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny.






\end{document}