Szeregi liczbowe.

Kryteria zbie/zno/sci szereg/ow - co ka/zdy student wiedzie/c powinien.

1. Warunek konieczny zbie/zno/sci.

Je/zeli szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny, to lim_{n→∞} a_{n} = 0.

Innymi s/lowy, je/zeli ci/ag (a_{n}) jest rozbie/zny lub zbie/zny do granicy r/o/znej od zera,

to szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest rozbie/zny.

2. Zbie/zno/s/c szeregu nie zale/zy od pomini/ecia lub zmiany sko/nczenie wielu pocz/atkowych wyraz/ow.

Oczywi/scie zmiana lub pomini/ecie tych wyraz/ow ma wp/lyw na sum/e szeregu zbie/znego.

3. Kryterium por/ownanwcze.

Niech ∑_{n=1}^{∞} a_{n} i ∑_{n=1}^{∞} b_{n} b/ed/a szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla ka/zdego

n ∈ ℕ zachodzi nier/owno/s/c a_{n} ≤ b_{n}.

Je/zeli ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = ∞, to ∑_{n=1}^{∞} b_{n} = ∞.

Je/zeli ∑_{n=1}^{∞} b_{n} < ∞, to ∑_{n=1}^{∞} a_{n} < ∞.

4. Kilka szereg/ow.

∑_{n=1}^{∞} q^{n} jest zbie/zny dla |q| < 1, rozbie/zny dla pozosta/lych q.

∑_{n=1}^{∞} n^{a} jest zbie/zny dla a < −1, rozbie/zny dla pozosta/lych a.

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{nlog^{a}n} jest zbie/zny dla a > 1, rozbie/zny dla pozosta/lych a. Logarytm ma dowoln/a

podstaw/e wi/eksz/a od 1.

5. Kryterium d’Alemberta.

Je/zeli (a_{n}) jest ci/agiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = g < 1 ,

to szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny.

Je/zeli istnieje granica

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = g > 1 ,

to szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest rozbie/zny.

6. Zbie/zno/s/c bezwzgl/edna.

Je/zeli ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| < ∞, to szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny.

7. Szeregi naprzemienne.

Je/zeli (a_{n}) jest ci/agiem nierosn/acym zbie/znym do 0, to szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(−1)^{n+1} jest zbie/zny.

Zadania Obliczy/c S_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}, a nast/epnie znale/x/c lim_{n→∞} S_{n} :

190. a_{k} = \frac{1}{7^{k}} 191. a_{k} = \frac{2^{k} + 5^{k}}{10^{k}}

192. Dowie/s/c, /ze 4 < ∑_{n=1}^{127} \frac{1}{n} < 7.

193. Dowie/s/c, /ze szereg ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n} − 1} jest zbie/zny, a jego suma jest mniejsza od 2. Rozstrzygn/a/c, czy nast/epuj/ace szeregi s/a zbie/zne

194. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + 1} 195. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{2} − 1} 196. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1 + n}{n^{2} + 1} 197. ∑_{n=1}^{∞} \frac{2 · 5 · 8 · ... · (3n − 1)}{1 · 5 · 9 · ... · (4n − 3)}

198. ∑_{n=1}^{∞} \frac{5n^{2} − 1}{n^{3} + 6n^{2} + 8n + 47} 199. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n − 1) · 2^{2n−1}}

200. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{3n − 1} 201. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2n}} 202. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1)(n + 4)}

203. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)!} 204. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{3^{n}} 205. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n − 1)!!}{3^{n} · n!} 206. ∑_{n=1}^{∞}(\frac{n}{2n + 1})^{n}

207. ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(n − 1)\sqrt{n + 1}} 208. ∑_{n=1}^{∞} \sqrt{\frac{n + 1}{n}} 209. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{n!}

210. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{2n − 1} 211. ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{n^{4}} 212. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n} − n}

213. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1000^{n}}{\sqrt[10]{n!}} 214. ∑_{n=1}^{∞} \frac{3^{n}}{2^{2^{n}}} 215. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{3} + π}{n^{π} + e}

Czy istnieje ci/ag (a_{n}) taki, /ze (poda/c przyk/lad lub dowie/s/c, /ze nie istnieje) :

216. a_{n} > \frac{1}{n} dla niesko/nczenie wielu n, ∀_{n∈} a_{n} > 0, szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny.

217. a_{n} = \frac{1}{2^{n}} dla niesko/nczenie wielu n, ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = 10 .

218. ∀_{n∈} a_{n^{2}} = \frac{1}{n}, ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = 0 .

219. ∀_{n∈} a_{n} ∈, a_{n} = n dla n ≤ 100, szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny.

220. a_{n} = 1 dla niesko/nczenie wielu n, szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny.

221. Szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny, szeregi ∑_{n=1}^{∞} a_{2n−1} i ∑_{n=1}^{∞} a_{2n} s/a rozbie/zne.

222. Szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest rozbie/zny, szereg ∑_{n=1}^{∞}(a_{2n−1} + a_{2n}) jest zbie/zny.

223. Szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest rozbie/zny, szereg ∑_{n=1}^{∞}(a_{2n−1} + a_{2n}) jest zbie/zny, lim_{n→∞} a_{n} = 0 .

224. Szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest rozbie/zny, szereg ∑_{n=0}^{∞}(a_{2^{n}} +a_{2^{n}+1}+a_{2^{n}+2}+...+a_{2^{n+1}−1}) jest zbie/zny,

lim_{n→∞} a_{n} = 0 .

225. Szeregi ∑_{n=1}^{∞}(a_{2n−1} + a_{2n}) i a_{1} + ∑_{n=1}^{∞}(a_{2n} + a_{2n+1}) s/a zbie/zne, ale maj/a r/o/zne sumy.

226. Szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest zbie/zny, szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} jest rozbie/zny.

227. Szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest rozbie/zny, szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} jest zbie/zny.