\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\textheight}{1cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 3}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\N{\mathbb{N}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=140
\setcounter{page}{12}
{\centerline{\large \bf Kresy zbiorów.}}

\ss

%\noindent{\small Wykład: zad. 1-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
%Konwersatorium 8.10.2009: zad. 38-40}

\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 6: zad. 140-189\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium nr 5, 12.04.2010: materiał zad. 1-189}


\sss
Wyznaczyć kres górny i dolny następujących zbiorów. Zbadać, czy podane
zbiory zawiera\-ją swoje kresy:

\ny $\displaystyle\left\{x\in\R:\ x^2<2\right\}$
\nx $\displaystyle\left\{{37^n\over n!}:\ n\in\N\right\}$
\ny $\displaystyle\left\{{1\over m}-{n\over n+1}:\ m,n\in\N\right\}$
\nx $\displaystyle\left\{x\in\R:\ x^4\ge5\right\}$
\ny $\displaystyle\left\{{m^2+n^2\over 2mn}:\ m,n\in\N \ ,\  m<n\right\}$
\nx $\displaystyle\left\{{mnk\over m^3+n^3+k^3}:\ m,n,k\in\N\right\}$

\ss

Niech $A$ i $B$ będą niepustymi ograniczonymi zbiorami liczb rzeczywistych.
\\Niech
 $a_1={\hbox{inf}}A$ , $a_2={\hbox{sup}}A$ ,
 $b_1={\hbox{inf}}B$ , $b_2={\hbox{sup}}B$.
Co można powiedzieć o następujących kresach:

\ny ${\hbox{inf}}\{-a:\ a\in A\}$
\nx ${\hbox{sup}}\{a^2:\ a\in A\}$
\nx ${\hbox{inf}}\{a^2:\ a\in A\}$
\ny ${\hbox{sup}}\{a-b:\ a\in A,\ b\in B\}$
\nx ${\hbox{sup}}\{ab:\ a\in A,\ b\in B\}$
\ny ${\hbox{inf}}\{ab:\ a\in A,\ b\in B\}$

\nn Zbiory $A$ i $B$ są niepuste i ograniczone. Zbiór $B$ jest skończony
i wszystkie jego elementy są różne od 0. Czy zbiór
 $\{ {a\over b}:\ a\in A,\  b\in B\}$
musi być ograniczony? Odpowiedź uzasadnić.

\nn $A$ jest takim niepustym zbiorem ograniczonym liczb rzeczywistych, że\\
${\hbox{inf}}A=-3$, ${\hbox{sup}}A=2$. Jakie wartości mogą
przyjmować kresy zbioru
$\{|a|:\ a\in A\}$ ?
Odpowiedź uzasadnić przykładem lub dowodem.

\nn Podać przykład takich zbiorów $A$, $B$, że
${\hbox{inf}}A=2$, ${\hbox{sup}}A=7$,
${\hbox{inf}}B=3$, ${\hbox{sup}}B=10$,
${\hbox{inf}}(A\cap B)=4$, ${\hbox{sup}}(A\cap B)=6$,
$A\cap \N=B\cap \N=\emptyset$.

\ss


Wyznaczyć kres górny i dolny następujących zbiorów. Zbadać, czy podane
zbiory zawiera\-ją swoje kresy:

\nn ${\displaystyle\left\{x^2:\;x\in(-4,\;9)\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{{n\over 2n+3}:\;n\in\N\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{{n!\over 5^n}:\;n\in\N\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{{2009\choose n}:\;n\in\N\wedge n\le 2009\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{{n\over n+m}:\;m,n\in\N\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{\left({1\over n}-{2\over 3}\right)^2:\;n\in\N\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{\sqrt{n^2+n}-n:\;n\in\N\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{\sqrt[\scriptstyle n]{3}-\sqrt[\scriptstyle m]{2}:\;m,n\in\N\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{{7\over n}-{3m}:\;m,n\in\N\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{{m^2+4 n^2\over m n}:\;m,n\in\N\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{{m^2+5 n^2\over m n}:\;m,n\in\N\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{{3m^2+7 n^2\over m n}:\;m,n\in\N\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{\left(\sqrt{37}-5\right)^n:\;n\in\N\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{\left(\sqrt{37}-6\right)^n:\;n\in\N\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{\left(\sqrt{37}-7\right)^n:\;n\in\N\right\}}$
\nx ${\displaystyle\left\{\left(\sqrt{37}-8\right)^n:\;n\in\N\right\}}$

\nn ${\displaystyle\left\{{mn\over m^2+n^2+1}:\;m,n\in\N\right\}}$



\sss

Przeczytaj poniższe warunki. Które z nich są równoważne temu, że
$g={\hbox{sup}}A$ ?
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
a<g+\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
|a-g|<\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
a>g-2\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
a>g-{\varepsilon\over2} \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{n\in \N} \exi\limits_{a\in A}
a>g-{1\over n} \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{n\in \N} \exi\limits_{a\in A}
n^2(g-a)<{1\over n} \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a<g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
(a-g)^2<\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
(a-g)^2<\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon<g} \exi\limits_{a\in A}
a>\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon<g} \exi\limits_{a\in A}
a>g-\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{0<\varepsilon<1} \exi\limits_{a\in A}
a>g-\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
a\ge g-\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon\ge 0} \exi\limits_{a\in A}
a\ge g-\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon\ge 0} \exi\limits_{a\in A}
a> g-\varepsilon \right)$
\ny $\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{a\in A} \exi\limits_{b\in A}
b\ge{g+a\over2} \right)$
\ny $\left( \exi\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{a\in A} \exi\limits_{b\in A}
b\ge{g+a\over2} \right)$
\ny $\left( \exi\limits_{a\in A} a^2\ge 0 \right) \wedge
\left( \fora\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{a\in A} \exi\limits_{b\in A}
b\ge{g+a\over2} \right)$
\ny $\left( \exi\limits_{a\in A} a\le g \right) \wedge
\left( \fora\limits_{\varepsilon>0} \exi\limits_{a\in A}
a>g-\varepsilon \right)$








\end{document}




