Szeregi liczbowe cd.

Ćwiczenia tydzień 8: zad. 227-257 Kolokwium nr 7, 26.04.2010: materiał zad. 1-257

Które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne, które warunkowo zbieżne, a które rozbieżne:

227. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{2n − 1} 228. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{2}3^{n}} 229. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{(2n − 1)^{3}}

230. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}n + 1}{n} 231. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{(n + 4)(n + 9)}} 232. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} · 2^{10^{n}}}{3^{2^{n}}}

233. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}n^{3}}{2^{n}} 234. ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n − \sqrt{n}} 235. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}2^{n^{2}}}{n!}

236. ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n} + 17}{3^{n}} 237. ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n! + 1}}{n!} 238. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n^{2}}}{(n + 3)^{1/4}} 239. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 2}{n(n + 1)}(−1)^{n}

240. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} (1 + \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} ) 241. ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{n\sqrt{4^{n} + 3^{n}}} 242. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n + 5\sqrt{n} + 27}

243. ∑_{n=1}^{∞} \frac{\binom{2n}{n}}{n!} 244. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{1/n}} 245. ∑_{n=1}^{∞} (\sqrt{n + 2} − \sqrt{n}) (−1)^{n} 246. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−n)^{n}}{(n + 2)^{n}}

247. Czy możemy ocenić zbiezność szeregu ∑_{n=1}^{∞} a_{n}, jeżeli wiemy, że

a) lim_{n→∞} a_{n} = 0 b) lim_{n→∞} a_{n} = −\frac{1}{4} c) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = −\frac{5}{4} d) a_{n} − a_{n+1} ≥ \frac{1}{n}

248. Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieżny.

a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{6^{n}} b) ∑_{n=5}^{∞} \frac{1}{(−6)^{n}} c) ∑_{n=−2}^{∞} \frac{1}{8^{n}} d) ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{8^{n}}

249. Zbadać zbieżność szeregu

∑_{n=1}^{∞} \frac{\binom{2n}{n} · n! · a^{n}}{n^{n}}

w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego a. Dla jednej wartości a można nie udzielić odpowiedzi.

Obliczyć sumę szeregu

250. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} 251. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} − 1} 252. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{2^{n}}

253. ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n + 1) · (−1)^{n}}{n(n + 1)} 254. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{(n + 1)!}

Wyznaczyć kresy zbiorów

255. \{∑_{n=1}^{N} (−\frac{1}{2})^{n} : N ∈ ℕ\} 256. \{ ∑_{n=M}^{N} (−\frac{1}{2})^{n} : M, N ∈ ℕ ∧ M < N\}

257. \{ ∑_{n=M}^{∞} (−\frac{1}{2})^{n} : M ∈ ℕ\}