\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\fontencoding{T1}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\textheight}{1cm}


\begin{document}
\abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt 
\belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt

\def\ss{\vskip10truept}

%\baselineskip=.205in

\def\prefoot{{\it Lista 3}}
\def\postfoot{{\it Strony 5-6}}


\font\smr=plr7 scaled\magstep0
\font\hsmr=plr9 scaled\magstep0
\font\srm=plr7 scaled\magstep0
\font\sc=plcsc10 scaled\magstep1
\font\ssrm=plr5 scaled\magstep0

\long\def\rozw#1{}
\long\def\odp#1{}
\def\coto{Zadania}

\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\ln {{\hbox{ln}}}
\def\log {{\hbox{log}}}
\def\sln {{\hbox{\srm ln}}}
\def\slog {{\hbox{\srm log}}}
\def\arctg {{\hbox{arctg}}}
\def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}}
\def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}}
\def\sgn {{\hbox{sgn}}}
\def\fora{\mathop{\forall}}
\def\exi{\mathop{\exists}}
\def\maps{\longrightarrow}
\def\imply{\Rightarrow}

\def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule
\strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}}

\def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept}
\def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}}


\def\sss{\vskip 14truept}

\newcount\nu
\def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}
\def\nz {{\hskip -2truept
\bf \the\nu .\   \global\advance\nu by 1}}

\nu=227
\setcounter{page}{17}
{\centerline{\large \bf  Szeregi liczbowe cd.}}

\ss
\noindent{\small Ćwiczenia tydzień 8: zad. 227-257\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
Kolokwium nr 7, 26.04.2010: materiał zad. 1-257}

\sss
Które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne,
które warunkowo zbieżne, a które rozbieżne:

\ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}\over 2n-1}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}\over n^2 3^n}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}\over (2n-1)^3}$
\ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}n+1\over n}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {1\over {\sqrt{(n+4)(n+9)}}}$
\nx $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1}
{(-1)^n\cdot2^{10^n}\over3^{2^n}}$



\ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}n^3\over 2^n}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=2}\limits^\infty {(-1)^{n}\over n-{\sqrt{n}}}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}2^{n^2}\over n!}$
\ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {2^n+17\over3^n}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {{\sqrt{n!+1}}\over n!}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n^2}\over (n+3)^{1/4}}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {n+2\over n(n+1)}(-1)^n$
\ny $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1}
{(-1)^n\over {\sqrt{n}}}\left(1+{(-1)^n\over {\sqrt{n}}}\right)$
\nx $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1}
{2^n\over n{\sqrt{4^n+3^n}}}$
\nx $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1}
{1\over n+5{\sqrt{n}}+27}$
\ny $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1}
{{2n\choose n}\over n!}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^n\over n^{1{/n} }}$
\nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty
\left(
{\sqrt{n+2}}-{\sqrt{n}}
\right)
(-1)^n$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {(-n)^n\over(n+2)^n}$


\def\kropki#1{}




\nn Czy możemy ocenić zbiezność szeregu $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$, jeżeli wiemy, że

{\bf a)} $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}a_n={0}$ \kropki{nie}
\hspace{\stretch{1}}
{\bf b)} $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-{1\over4}$ \kropki{tak}
\hspace{\stretch{1}}
{\bf c)} $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}=-{5\over4}$ \kropki{TAK}
\hspace{\stretch{1}}
{\bf d)} $\displaystyle{a_{n} - a_{n+1}}\ge \frac1n$ \kropki{TAK}




\nn Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieżny.

{\bf a)} $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty {1\over 6^n}$ \kropki{}
\hspace{\stretch{1}}
{\bf b)} $\displaystyle\sum\limits_{n=5}^\infty {1\over (-6)^n}$ \kropki{}
\hspace{\stretch{1}}
{\bf c)} $\displaystyle\sum\limits_{n=-2}^\infty {1\over 8^n}$ \kropki{}
\hspace{\stretch{1}}
{\bf d)} $\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty {(-1)^n\over 8^n}$ \kropki{}


\nn Zbadać zbieżność szeregu
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty {{2n\choose n}\cdot n!\cdot a^n\over n^n}
$$
w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego $a$. Dla jednej wartości $a$ można nie udzielić odpowiedzi.

\ss


Obliczyć sumę szeregu
\ny $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {1\over n(n+1)}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {1\over n^2-1}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {n\over 2^n}$


\ny $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {(2n+1)\cdot(-1)^n\over n(n+1)}$
\nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {n\over (n+1)!}$

\ss

Wyznaczyć kresy zbiorów
\ny $\displaystyle\left\{\sum\limits_{n=1}^N \left(-{1\over 2}\right)^n:\;N\in\N\right\}$
\nx $\displaystyle\left\{\sum\limits_{n=M}^N \left(-{1\over 2}\right)^n:\;M,N\in\N\;\wedge\;M<N\right\}$
\ny $\displaystyle\left\{\sum\limits_{n=M}^\infty \left(-{1\over 2}\right)^n:\;M\in\N\right\}$



\end{document}
