Funkcje. Granica i ciągłość.

Ćwiczenia tydzień 9: zad. 258-296 nie ma kolokwium (3 Maja)

Uwaga: Zapis sgn(x) oznacza znak liczby x : sgn(x) = 1 dla x > 0 sgn(x) = 0 dla x = 0 sgn(x) = −1 dla x < 0

Uwaga: Zapis {x} oznacza część ułamkową liczby x. {x} = x − [x], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x.

Naszkicować wykres funkcji f danej wzorem

258. sgn(sin x) 259. {x} − ({x})^{2}

260. f(x) = \{ \begin{matrix}0 & dla & x < 0 \\ x & dla & 0 ≤ x < 1 \\ −x^{2} + 4x − 2 & dla & 1 ≤ x < 3 \\ 4 − x & dla & x ≥ 3 \end{matrix}

261. f(x) = \{ \begin{matrix}x & dla & x ≠ 2 \\ sgn(x) & dla & x = 2 \end{matrix} 262. \frac{x^{4} − 1}{x^{2} − 1} 263. \frac{1}{\{x\}}

264. sgn(x^{3} − x) 265. x^{3}sgn(x) 266. |[x + \frac{1}{2}] − x|

267. f(x) = |x^{2} − 1| − |x^{2} − 4| 268. f(x) = |x^{2} − 8x + 15|

269. f(x) = x^{2} + x + 2 − |x^{2} − x − 2| 270. f(x) = {cos x}

271. f(x) = [\frac{4}{π} arctgx] 272. f(x) = 2\{sin x\} − \{2 sin x\}

273. f(x) = [x] + x 274. f(x) = \{x\} + x 275. f(x) = [|x − \frac{1}{2} |] Obliczyć następujące granice:

276. lim_{x→7} (\frac{1}{x − 7} − \frac{8}{x^{2} − 6x − 7}) 277. lim_{x→0} x sin \frac{1}{x} 278. lim_{x→0} e^{−1/x^{2}}

279. lim_{x→8} \frac{\sqrt[3]{x} − 2}{x − 8} 280. lim_{x→3} \frac{x − 3}{x + 2} 281. lim_{x→5} \frac{x^{2} − 6x + 5}{x − 5}

282. lim_{x→1} (\frac{1}{1 − x} − \frac{3}{1 − x^{3}} ) 283. lim_{x→1} \frac{x^{2008} − 1}{x^{10} − 1} 284. lim_{x→1/2} \frac{8x^{3} − 1}{6x^{2} − 5x + 1}

285. lim_{x→−2} \frac{x^{3} + 3x^{2} + 2x}{x^{2} − x − 6} 286. lim_{x→0} \frac{x − \sqrt{x}}{\sqrt{x}} 287. lim_{x→1} \frac{(x − 1)\sqrt{2 − x}}{x^{2} − 1}

288. lim_{x→+∞} \frac{x − \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} 289. lim_{x→+∞} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} 290. lim_{x→−∞} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} 291. lim_{x→0+} \frac{lnx}{1 + lnx}

292. lim_{x→0+} \frac{2^{1/x} + 1}{2^{1/x} − 1} 293. lim_{x→0−} \frac{2^{1/x} + 1}{2^{1/x} − 1} 294. lim_{x→+∞} \frac{2^{1/x} − 1}{2^{1/x} + 1}

295. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem

f(x) = \{ \begin{matrix}ax + b & dla & x < 1 \\ x^{2} & dla & 1 ≤ x < 2 \\ ax − b & dla & 2 ≤ x \end{matrix}

jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a, b), dla których funkcja f jest ciągła.

296. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem

f(x) = \{ \begin{matrix}x & dla & x < 1 \\ x^{2} + ax + b & dla & 1 ≤ x < 2 \\ x + 3 & dla & 2 ≤ x \end{matrix}

jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a, b), dla których funkcja f jest ciągła.