\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[polish]{babel} \usepackage{amsfonts} \fontencoding{T1} \usepackage[utf8]{inputenc} \addtolength{\textwidth}{2cm} \addtolength{\textheight}{1cm} \begin{document} \abovedisplayskip=4pt plus 2pt minus 2pt \belowdisplayskip=4pt plus 2pt minus 3pt \def\ss{\vskip10truept} %\baselineskip=.205in \def\prefoot{{\it Lista 3}} \def\postfoot{{\it Strony 5-6}} \font\smr=plr7 scaled\magstep0 \font\hsmr=plr9 scaled\magstep0 \font\srm=plr7 scaled\magstep0 \font\sc=plcsc10 scaled\magstep1 \font\ssrm=plr5 scaled\magstep0 \long\def\rozw#1{} \long\def\odp#1{} \def\coto{Zadania} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\R{\mathbb{R}} \def\ln {{\hbox{ln}}} \def\log {{\hbox{log}}} \def\sln {{\hbox{\srm ln}}} \def\slog {{\hbox{\srm log}}} \def\arctg {{\hbox{arctg}}} \def\ssln {{\hbox{\ssrm ln}}} \def\sarctg {{\hbox{\srm arctg}}} \def\sgn {{\hbox{sgn}}} \def\fora{\mathop{\forall}} \def\exi{\mathop{\exists}} \def\maps{\longrightarrow} \def\imply{\Rightarrow} \def\klepsydra#1{\vbox{\hrule\vtop{\hbox{\vrule \strut\thinspace#1\thinspace\vrule}\hrule}}} \def\lub#1#2{\hskip0.0truept\klepsydra{#1}\klepsydra{#2}\hskip3.8truept} \def\luub#1#2{\par\klepsydra{#1}\par\klepsydra{#2}} \def\sss{\vskip 14truept} \newcount\nu \def\nn {{\vskip 8.7truept \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \def\nx {{\hskip 10truept \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \def\ny {{\vskip2truept\noindent \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \def\nz {{\hskip -2truept \bf \the\nu .\ \global\advance\nu by 1}} \nu=227 \setcounter{page}{17} {\centerline{\large \bf Szeregi liczbowe cd.}} \ss \noindent{\small Ćwiczenia tydzień 8: zad. 227-257\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Kolokwium nr 7, 26.04.2010: materiał zad. 1-257} \sss Które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne, które warunkowo zbieżne, a które rozbieżne: \ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}\over 2n-1}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}\over n^2 3^n}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}\over (2n-1)^3}$ \ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}n+1\over n}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {1\over {\sqrt{(n+4)(n+9)}}}$ \nx $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1} {(-1)^n\cdot2^{10^n}\over3^{2^n}}$ \ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}n^3\over 2^n}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=2}\limits^\infty {(-1)^{n}\over n-{\sqrt{n}}}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n+1}2^{n^2}\over n!}$ \ny $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {2^n+17\over3^n}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {{\sqrt{n!+1}}\over n!}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^{n^2}\over (n+3)^{1/4}}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {n+2\over n(n+1)}(-1)^n$ \ny $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1} {(-1)^n\over {\sqrt{n}}}\left(1+{(-1)^n\over {\sqrt{n}}}\right)$ \nx $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1} {2^n\over n{\sqrt{4^n+3^n}}}$ \nx $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1} {1\over n+5{\sqrt{n}}+27}$ \ny $\displaystyle \sum\limits^\infty\limits_{n=1} {{2n\choose n}\over n!}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty {(-1)^n\over n^{1{/n} }}$ \nx $\displaystyle \sum\limits_{n=1}\limits^\infty \left( {\sqrt{n+2}}-{\sqrt{n}} \right) (-1)^n$ \nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {(-n)^n\over(n+2)^n}$ \def\kropki#1{} \nn Czy możemy ocenić zbiezność szeregu $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$, jeżeli wiemy, że {\bf a)} $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}a_n={0}$ \kropki{nie} \hspace{\stretch{1}} {\bf b)} $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-{1\over4}$ \kropki{tak} \hspace{\stretch{1}} {\bf c)} $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}=-{5\over4}$ \kropki{TAK} \hspace{\stretch{1}} {\bf d)} $\displaystyle{a_{n} - a_{n+1}}\ge \frac1n$ \kropki{TAK} \nn Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieżny. {\bf a)} $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty {1\over 6^n}$ \kropki{} \hspace{\stretch{1}} {\bf b)} $\displaystyle\sum\limits_{n=5}^\infty {1\over (-6)^n}$ \kropki{} \hspace{\stretch{1}} {\bf c)} $\displaystyle\sum\limits_{n=-2}^\infty {1\over 8^n}$ \kropki{} \hspace{\stretch{1}} {\bf d)} $\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty {(-1)^n\over 8^n}$ \kropki{} \nn Zbadać zbieżność szeregu $$ \sum\limits_{n=1}^\infty {{2n\choose n}\cdot n!\cdot a^n\over n^n} $$ w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego $a$. Dla jednej wartości $a$ można nie udzielić odpowiedzi. \ss Obliczyć sumę szeregu \ny $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {1\over n(n+1)}$ \nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {1\over n^2-1}$ \nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {n\over 2^n}$ \ny $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {(2n+1)\cdot(-1)^n\over n(n+1)}$ \nx $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {n\over (n+1)!}$ \ss Wyznaczyć kresy zbiorów \ny $\displaystyle\left\{\sum\limits_{n=1}^N \left(-{1\over 2}\right)^n:\;N\in\N\right\}$ \nx $\displaystyle\left\{\sum\limits_{n=M}^N \left(-{1\over 2}\right)^n:\;M,N\in\N\;\wedge\;M