Analiza matematyczna 3 (semestr jesienno-zimowy 2022/23)

Egzamin II: sobota 25.02.2023, $9^{00}-??^{??}$, s.601.
Konsultacje przed egzaminem II: np. 24.02.2023, $11^{15}-??^{??}$, s.7?? Zapraszam. K.O.

Egzamin I: 21.02.2023, $9^{00}-11^{30}$, s.HS.
  (Oceny: 4.5 i 5 z zaliczenie będą przepisane jako oceny z egzaminu.)

Po kartkówce d2:
  $\bullet$   Wyniki można znaleźć w USOSie w zakładkach: d2 (='ratunkowa') i w d2z (='zaawansowana').
  $\bullet$   Uzyskane punkty zostały dodane do dotychczasowych (= zakładka 'Zal') wyników przy czym w przypadku ratunkowej tylko ta ich część, która daje łącznie nie więcej niż 99p.
  $\bullet$   Zatem łączna liczba punktów z kartkówek semestru jest w zakładce zal_i_d2.
  $\bullet$   Na podstawie tej liczby wystawione są oceny na zaliczenie, według uaktualnionych reguł >
  $\bullet$   i przy uwzględnieniu aktywności na zajęciach.
  $\bullet$   Oceny: 4.5 i 5 z zaliczenie będą przepisane jako oceny z egzaminu       

Kartkówka d2: 03.02.2023, $10^{05}-<12$, s.WS. Zakres: listy 9--14. Szczegóły:
Są to właściwie dwie kartkówki:
  $\bullet$   'ratunkowa': dla tych, którzy uzyskali dotychczas (= 'Zal' w Usosie) mniej niż 100 i więcej niż 50 punktów; na kartkówkę proszę przynieść (obowiązkowo) poprawę kartkówki k5,
  $\bullet$   'zaawansowana': dla tych, którzy uzyskali dotychczas co najmniej 120 punktów.
Kartkówka będzie trwała co najmniej 100 minut; proszę zarezerwować sobie więcej czasu.       

Poprawa kartkówki k5 (przy <25p.): proszę samodzielnie uzupełnić > ten tekst

Uwaga. Zapisy do grup...  
Grupa nr 2 jest adresowana głównie dla tych, którzy osiągnęli pewien sukces w kursie AM2. Jego (jakąś) miarą jest uzyskanie więcej niż 245 punktów w rankingu, który można znaleźć w Sprawdzianach (2021/22L, AM2) w zakładce [Kolokwia + 2*egzamin]. Zapraszamy też inne osoby, które w tym semestrze chcą więcej czasu/energii poświęcić analizie.
    

Listy zadań. Niektóre z list/zadań będą omawiane tylko na wykładzie/konwersatorium.

• Lista 1.   (7-11.10.2022)  
• Lista 2.   (12-13.10.2022)  
• Lista 3.   (19-20.10.2022)  
• Lista 4.   (26-27.10.2022)  
• Lista 5.   (3,9.11.2022)  
• Lista 6.   (16,17.11.2022)  +  WypełNiańka do niektórych zadań  
• Lista 7.   (23,24.11.2022)  +  WypełNiańka do niektórych zadań  
• Lista 8.   (30.11, 1.12.2022)
• Lista 9.   (7,8.12.2022)
• Lista 10.   (14,15.12.2022)
• Lista 11.   (21.12.2022, 4,5.01.2024)
• Lista 12.   (11,12.01.2023)
• Lista 13.   (18,19.01.2023 +)
• Lista 13.5   (do samodzielnego przeanalizowania)
• Lista 14.  
     +  rysunek do zadania 1. Lista 14. - przecięcie stożków  
  Wygląda to tak (pominięto podstawy, by lepiej widzieć):
  
   widok: dla x,y,z ≥ 0       (manipulacje rysunku myszką)
   
     +  rysunek do zadania 2d) - Lista 14. - > trąba (pow.)
     +  rysunek do zadania 4a) - Lista 14. - > przecięcie walców
             +  rysunek do zadania 6¹ - Lista 14. - > przecięcie kuli i walca
             +  rysunek do zadania 6² - Lista 14. - > przecięcie stożka i walca
• Lista powtórkowa   (drzewiej bywało na... egzaminach; przede wszystkim do samodzielnego przeanalizowania)
    +  zadania kartkówki d2 ('ratunkowej')   >  
    +  zadania kartkówki d2z ('zaawansowanej')   >  

Notatki do/z wykładów i konwersatoriów, materiały pomocnicze   Numeracja jest zgodna z numeracją list.

•  1.   Linie w $\RR^n$ zadane parametrycznie
  Not(at)ki z Wykładu 1.    ,
   

plot3d on-line wykresy funkcji $f:\RR^2\to\RR$ można zobaczyć np. tu: Wolfram CalcPlot3D Geogebra i w wielu innych miejscach, nawet w Googlach

•  2.   Wykresy funkcji $f:\RR^2\to \RR$
  Not(at)ki z Wykładu 2.a  
     - oglądnij wykres $f(x,y)=\frac{1}{10}x^2y\ $   on-line,    i off-line,  
     - oglądnij wykres $f(x,y)=p\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\ $   on-line, dla różnych $p:\RR\to\RR$    
   
     - Siodło dla biedronki (dodatkowa bajka)
   
•  3.   Zbieżność ciągów w $\RR^n$, granica i ciągłość funkcji w punkcie
  • Not(at)ki z Wykładu 3.a (ciągi)   
  • Not(at)ki z Wykładu 3.b (granica funkcji)   
  • Not(at)ki z Wykładu 3.c (ciągłość funkcji)   
  • Not(at)ki z Wykładu 3.d (ciągłość funkcji 'sklejonej' z innych)   
  Najważniejsze: bywa, że $\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{y\to0}f(x,y)\right)\neq \lim\limits_{y\to0}\left(\lim\limits_{x\to0}f(x,y)\right)$.
  Nawet wtedy gdy są równe, to może nie istnieć granica: $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$.
   
•  4.   Pochodne cząstkowe, płaszczyzna styczna
  • Not(at)ki z Wykładu 4.a   
        - oglądnij $f'_x,\;f'_y,\;f'_{\vec{w}}$ dla $f(x,y)=1+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}\ $ on-line 
  • Not(at)ki z Wykładu 4.b   
        - nieciągła funkcja z wszystkimi pochodnymi kierunkowymi: on-line ,
          (Jak to zostało wykombinowane? Tu jest nieco jaśniej.)
  
   
•  5.   Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, reguła łańcucha
  • Not(at)ki z Wykładu 5.a   
  • Not(at)ki z Wykładu 5.b   
  
   
•  6.   Wzór Taylora. Ekstrema lokalne funkcji.
  • Not(at)ki z Wykładu 6.a   
  • Not(at)ki z Wykładu 6.b   
  
   
•  7.   Wartość największa/najmniejsza funkcji, Tw. Weierstrassa, metoda mnożników Lagrange'a
  • Not(at)ki z Wykładu 7.a   
  • Not(at)ki z Wykładu 7.b   
  • Not(at)ki z Wykładu 7.c   
  • Trzy sposoby redakcji jednego zadania >>>   
  
  Zadanie. (podobne do zadania 2 z kartkówki k2)   
  Niech $f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccl}x^2+y& gdy & x^2+y^2\leq1\\p\cdot y& gdy & x^2+y^2 > 1\end{array}\right.$, gdzie $p\in\RR$ jest parametrem.
    a)   Podaj wszystkie wartości parametru $p$, dla których $f$ ma choć jedno minimum lokalne.
    b*)   Podaj wszystkie wartości parametru $p$, dla których $f$ ma choć jedno maksimum lokalne.
   
  Ilustrację do zadania można zobaczyć tu, on-line.   
   
•  8.   Funkcje uwikłane
  • Not(at)ki z Wykładu 8.a   
  • Not(at)ki z Wykładu 8.b   
  • Kształ linii $x^3+y^3=3xy+p$, dla parametru $p\in[-5,5]$ można zobaczyć tu, on-line.   
  • Kształ powierzchni $4x^2+7y^2+7z^2+8yz=4xy+4xz+3$ można zobaczyć tu, on-line.   
  • O dwóch zadaniach z Listy 8.
      zad. 2 b)   Znaleźć płaszczyznę styczną do powierzchni $\ e^{xz}=yz\ $ w punkcie $(1,e,1)$.

    
    Dla $\ F=e^{xz}-yz\ $ mamy: $\ F'_x=e^{xz}z$, $\ F'_y=-z$, $\ F'_z=e^{xz}z-y$,
    skąd $\ F'_x(1,e,1)=e$, $\ F'_y(1,e,1)=-1$, $\ F'_z(1,e,1)=0$ .
    Ponieważ $F'_z(1,e,1)=0$, więc trzeba zmienić tw. o f. uwikłanej, np. na wersję $y=y(x,z)$.
    Zatem mamy równanie płaszczyzny stycznej do $F=0$ w $(1,e,1)$ :
                            $y=e+(-{e\over -1})(x-1)+(-{0\over -1})(z-1)$.
    Odp. Płaszczyzna(!) $\ y=ex\ $ jest styczna do powierzchni $\ e^{xz}=yz\ $ w punkcie $\ (1,e,1)$.

      
      zad. 4 c)   Znaleźć ekstrema lok. f. uwikłanej $y=y(x)$ zadanej równaniem $\ \ln\sqrt{x^2+y^2}=\arctan\left({y\over x}\right)$.

    
    Funkcja $\ F=\ln\sqrt{x^2+y^2}-\arctan\left({y\over x}\right)\ $ jest określona dla $x\neq0$ (poza osią OX).
    Mamy: $\ F'_x={x+y\over x^2+y^2}$, $\ F'_y={y-x\over x^2+y^2}\ $ oraz $\ F_{xx}''={y^2-x^2-2xy\over (x^2+y^2)^2}$, $\ F_{yy}''={x^2-y^2+2xy\over (x^2+y^2)^2}$.
    Szukamy p. kryt:
    $\ \ \left\{\begin{array}{l}-{F'_x\over F_y'}=0\\F=0\\F_y'\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} F'_x=0\\F=0\\F_y'\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=-x\\\ln(\sqrt2|x|)=-{\pi\over4}\\y\neq x\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=-x\\|x|={1\over\sqrt2}e^{-\pi{/}4}\\y\neq x\end{array}\right. $
    czyli mamy dwa punkty: $p_1={\Big(}{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$, $p_2={\Big(}-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$.
    Dla nich $\ F_{xx}''={y^2-x^2-2xy\over (x^2+y^2)^2}={-2xy\over (x^2+y^2)^2}>0$, więc łatwo jest sprawdzić, że są w nich ekstrema lokalne.
     
    [Niestety, to jeszcze nie koniec; to nie jest jeszcze pełne rozwiązanie.]
    [Dalej już tylko szkic:]
     
    Tw. o funkcji uwikłanej nie rozstrzyga, jak to jest z punktami spełniającymi układ $\ \left\{\begin{array}{l}F_y'=0\\F=0\end{array}\right.,\ $
    czyli z $q_1={\Big(}{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2},{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}{\Big)}$, $q_2={\Big(}-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2},-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}{\Big)}$.
    Dla nich $\ F'_x\neq0$, więc z dualnej wersji tw. o f. uwikłanej wiemy,
    że lokalnie leżą na wykresach funkcji uwikłanych $x=x(y)$,
    które mają w tych punktach styczne $x={e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}$, $x=-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}$ (odpowiednio).
    Ponadto w nich $x''(y)\neq0$ (bo $\ F_{y}''={x^2-y^2+2xy\over (x^2+y^2)^2}={2xy\over (x^2+y^2)^2}\neq0$ ), więc ich wykresy leżą po jednej stronie swych stycznych.
    Stąd już wynika, że w punktach $q_1$ i w $q_2$ równanie $F=0$ nie zadaje funkcji uwikłanej $y=y(x)$.
     
    Odp. Równanie $F=0$ zadaje funkcję uwikłaną $y=y(x)$, która ma
    ekstrema lokalne w dwóch punktach: $p_1={\Big(}{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$, $p_2={\Big(}-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$.   [ufff!].
     
    Uwaga. Ilustrację do zadania można zobaczyć tu, on-line.
    Uwaga. Jak polubisz liczby zespolone, to zobaczysz związek ze spiralą logarytmiczną.

      
  
   
•  9.   Całka podwójna: definicja $\dint\limits_Pf\;d\omega$, TW. o zamianie całki podwójnej na iterowaną.
  • Not(at)ki z Wykładu 9.a   
  • Not(at)ki z Wykładu 9.b   
    + ilustracje do zadania 2(i),b) z Listy 9.   
  
   

Przekrój stożków $S_1,\:S_2$ Stożki mają wysokości i promienie podstawy równe 1. Wierzchołek stożka $S_2$ jest środkiem podstawy stożka $S_1$ i ich wysokości są prostopadłe. Zadanie. (trudne) Oblicz pole cżęści powierzchni stożka $S_2$ zawartej w $S_1$,                                 czyli pole żółtej 'obłej ściany' przekroju tych stożków. Wsk.   Znajdź równanie różowej linii będącej rzutem linii czerwonej.     widok:       (manipulacje rysunku myszką) Uwaga.   Pole zielonej 'obłej ściany' nie wyraża się 'ładną' liczbą (bo sprowadza się to do obliczenia pewnej całki eliptycznej).

•  10.   Całka podwójna/potrójna; układ biegunowy
  • Not(at)ki z Wykładu 10.a   
      +   dużo (za dużo) dodatkowych ćwiczeń o układzie biegunowym
      +   Jak wygląda przecięcie:
             $\bullet$  kuli $K: \ x^2\!+\!y^2\!+\!z^2\leq1$ i walca $W:\ x^2\!+\!y^2\leq x$ ?   odp.: >
             $\bullet$  stożka $S: \ 0\leq z\leq 1\!-\!\sqrt{x^2\!+\!y^2}$  i walca $W:\ x^2\!+\!y^2\leq x$ ?   odp.: >
  
   
   
•  11.   Całka podwójna/potrójna; całkowanie przez podstawienie, układ cylindryczny, pole płata, całki niewłaściwe
  • Not(at)ki z Wykładu 11.a   
  • Not(at)ki z Wykładu 11.b (współrzędne walcowe)   
      +   dużo (za dużo) dodatkowych ćwiczeń o zmianie ukł. na biegunowy/cylindryczny
  • Not(at)ki z Wykładu 11.c (pole płata)   
      +   'Im więcej, tym... gorzej?!', czyli triangulacje powierzchni walca
  • Not(at)ki z Wykładu 11.d (całki niewłaściwe)   
  
   
   
•  12.   Całka krzywoliniowa nieskierowana, całka powierzchniowa (niezorientowana), zastosowania
  • Not(at)ki z Wykładu 12.a   
  • Not(at)ki z Wykładu 12.b   
  • Not(at)ki z Wykładu 12.c   
    + ilustracje do zadania 2(i),b) z Listy 9.   
  
   
   
•  13.   Całka krzywoliniowa skierowana, tw. Greena
  • Not(at)ki z Wykładu 13.a   
    + ilustracje pola wektorowe   
  • Not(at)ki z Wykładu 13.b   
  
   
   

Przekrój stożków $S_1,\:S_3$ Stożki mają wysokości i promienie podstawy równe 1. Wierzchołek stożka $S_3$ jest środkiem podstawy stożka $S_1$ i ich wysokości tworzą kąt 45o. Obliczenie objętości, czy pola powierzchni części wspólnej stożków, wygląda na 'beznadziejny' problem, to znaczy całki (do których można sprowadzić te problemy) wyglądają na eliptyczne. Zatem 'musi nam wystarczyć' oglądanie owego przekroju $S_1\cap S_3$.     widok: dla x,y,z≥0       (manipulacje rysunku myszką)

•  14.   Całki w geometrii, zasada Cavaleriego
  • 
       +  rysunek do zadania 1. Lista 14. - przecięcie stożków  
    Wygląda to tak (pominięto podstawy, by lepiej widzieć):
    
     widok: dla x,y,z ≥ 0       (manipulacje rysunku myszką)
     
       +  rysunek do zadania 2d) - Lista 14. - > trąba (pow.)
       +  rysunek do zadania 4a) - Lista 14. - > przecięcie walców
               +  rysunek do zadania 6¹ - Lista 14. - > przecięcie kuli i walca
               +  rysunek do zadania 6² - Lista 14. - > przecięcie stożka i walca
  
   
   

Fajerwerkowy stożek Pojedyńczy fajerwerk (a może lepiej: pocisk z haubicy) wystrzelony z szybkością $||\vec{v}||$ pod kątem $\alpha$ leci tak, jak Newton przykazał: $\vec{p}_t=\vec{p}_0+t\cdot \vec{v} +\frac{t^2}{2}\vec{g},$ gdzie wygodnie jest przyjąć:     $\vec{p}_0=(0,0,0)$,     $\vec{v}=||\vec{v}||\cdot (\cos\alpha,0,\sin\alpha)$,     $\vec{g}=(0,0,-9.81)$.   Gdy wystrzelimy całe stado fajerwerków, to - przy szczęśliwym zbiegu okoliczności - wszystie będą miały tę samą szybkość $||\vec{v}||$. Jednak ich kierunki będą się różniły od $\vec{v}$; przyjmijmy, że bedą tworzyć z nim kąt $\delta$ (wszystkie!). Przy jeszcze większym zbiegu okoliczności, ułożą się one równomiernie (cokolwiek by to słowo miało znaczyć).   Wtedy - tuż po starcie - widzimy cały pęk ich trajektorii okalający tą poprzednią trajektorię. Ich 'wszystkie' trajektorie tworzą ów tytułowy fajerwerkowy stożek. Jak on wygląda? Dla $\alpha$=30o: tak, jak się spodziewamy, ale cóż to się dzieje przy $\alpha$=60o?   (Na rys. przyjęto: $||\vec{v}||$=8 i $\delta$=10o)     widok dla α = 30o 45o 60o       (manipulacje rysunku myszką)   Pytań tu można stawiać wiele; i teoretycznych i praktycznych (życiowych). Np.:  $\bullet$  Znaleźć 'zgrabny' opis przecięcia owego stożka z płaszczyzną z=0.  $\bullet$  W jakej odległości od miejsca trafienia centralnej trajektorii jest... bezpiecznie?  $\bullet$  Czy gdy rozkład kierunków jest równomierny (jednakowo prawdopodobny), to rozkład trafień też?  $\bullet$  ...   Uwaga. Wymyśl własne pytania. Stawianie pytań jest ważne. Uwaga. Ja nie znam odpowiedzi na powyższe pytania.   Powierzchnię fajerwerkowego stożka można też nazwać inaczej: np. 'okrąg parabol' albo 'parabola okręgów'. Wiele natchnienia może dać... wyprawa w kosmos, tzn. zabawa ze stałą 9,81. Co widać, gdy g=0? ... ... ... Proszę tylko nie eksperymentować (w realu) z kątem $\alpha$=90o, bo grozi śmiercią lub kalectwem.

•  15.(materiał nieobowiązujący na egzaminie)  Całka powierzchniowa zorientowana; tw. Gaussa, tw. Stokesa
  
  • Not(at)ki Wykładu 15.a   
  • Not(at)ki Wykładu 15.b