6. Wyznacznik, zmiana bazy

W tym rozdziale poznamy dalsze własności wyznacznika. Poznamy prosty sposób obliczania wyznacznika. Podamy pewne zastosowania tego pojęcia. Znajdziemy też wzór na macierz odwrotną. Zbadamy również, jak zmieniają się współrzędne wektora i macierz przekształcenia liniowego przy zmianie bazy.

Dla macierzy $A=[a_{ij}]_{n\times n} \det(A)$ oznaczamy również przez $\vert a_{ij}\vert$, na przykład

$$\left\vert\begin{array}{ccc}1&0&1 2&0&3\\ 3&1&1\end{array}... ...eft[\begin{array}{ccc}1&0&1 2&0&3\\ 3&1&1\end{array}\right].$$

W przypadku $n=2,3$ wzór $(\dagger)$ z wniosku 5.10 daje zwykłe wzory na wyznaczniki macierzy wymiarów $2\times 2$ i $3\times 3$. Wzór ten jednak jest praktycznie bezużyteczny dla macierzy kwadratowych wymiaru większego niż $3\times 3$. W tych przypadkach można obliczyć wyznacznik macierzy w inny sposób.

Używając operacji z wniosku 5.16(1)(b) możemy każdą macierz kwadratową doprowadzić do postaci górnotrójkątnej (jak w 5.16(3)) i łatwo wyliczyć jej wyznacznik jako iloczyn wyrazów na głównej przekątnej.

Przykład.

Obliczymy w ten sposób wyznacznik macierzy

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1 2&1&3&1 1&3&2&1\\ 2&1&3&0\end{array}\right].$$

W tym celu do niektórych wierszy tej macierzy będziemy dodawać skalarne krotności innych wierszy. Operacje te nie zmieniają wyznacznika. Dążymy do uzyskania macierzy górnotrójkątnej. Po prawej stronie wierszy będziemy zaznaczali, krotności skalarne których wierszy dodajemy do nich w następnym kroku.

$$\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1 2&1&3&1 1&3&2&1\\ 2&1&3... ...{l}\mbox{} \mbox{}\\ +\frac{1}{3}\cdot[2]\\ -[2]\end{array}$$

$$\longrightarrow\left[\begin{array}{rrrr}1&2&3&1\\ 0&-3&-3&-1 0&0&-2&-\frac{1}{3} 0&0&0&-1\end{array}\right]$$

Dlatego $\det(A)=1\cdot(-3)\cdot(-2)\cdot(-1)=-6$.

Zastosowania.

1. Sprawdzić, czy układ wektorów

$$\left[\begin{array}{c}1 2 1 2\end{array}\right],\ \left... ...egin{array}{c}1 1 1 0\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^4$$

jest liniowo niezależny.

Na mocy wniosku 4.14 i twierdzenia 5.13, układ ten jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\det\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&1 2&1&3&1 1&3&2&1\\ 2&1&3&0\end{array}\right]\neq 0.$$

Powyżej obliczyliśmy, że wyznacznik ten $=-6$. Dlatego nasz układ wektorów jest liniowo niezależny.

2. Załóżmy, że ${\cal B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ jest bazą przestrzeni $V$ oraz

$$v_1=b_1+2b_2+b_3+2b_4, v_2=2b_1+b_2+3b_3+b_4,$$

$$v_3=3b_1+3b_2+2b_3+3b_4, v_4=b_1+b_2+b_3.$$

Czy wektory $v_1,v_2,v_3,v_4\in V$ są liniowo niezależne ?

By odpowiedzieć na to pytanie, rozważmy izomorfizm $F:V\rightarrow {\mathbb{R}}^4$ dany wzorem $F(v)=[v]_{{\cal B}}$ (twierdzenie 3.6). Wówczas wektory $v_1,v_2,v_3,v_4$ są liniowo niezależne $\iff$ wektory $F(v_1),F(v_2),F(v_3),F(v_4)\in R^4$ są liniowo niezależne. Ale

$$F(v_1)=\left[\begin{array}{c}1 2 1 2\end{array}\right],... ...\ F(v_4)=\left[\begin{array}{c}1 1 1 0\end{array}\right].$$

W punkcie 1 sprawdziliśmy już, że wektory te są liniowo niezależne.

3. Załóżmy, że

$$W_1=1+2X+X^2+2X^3, W_2=2+X+3X^2+X^3,$$

$$W_3=3+3X+2X^2+3X^3, W_4=1+X+X^2.$$

Czy wektory $W_1,W_2,W_3,W_4$ są liniowo niezależne w przestrzeni wielomianów ${\mathbb{R}}[X]$ ? Zauważmy, że wektory te leżą w $4$-wymiarowej podprzestrzeni ${\mathbb{R}}_3[X]\subset {\mathbb{R}}[X]$. $W_1,W_2,W_3,W_4$ są liniowo niezależne w ${\mathbb{R}}[X]\iff W_1,W_2,W_3,W_4$ są liniowo niezależne w ${\mathbb{R}}_3[X]$. W bazie standardowej ${\cal B}=\{1,X,X^2,X^3\}$ przestrzeni ${\mathbb{R}}_3[X]$ :

$$[W_1]_{{\cal B}}=\left[\begin{array}{c}1 2 1 2\end{arra... ...\cal B}}=\left[\begin{array}{c}1 1 1 0\end{array}\right].$$

$\det([W_1]_{{\cal B}},[W_2]_{{\cal B}},[W_3]_{{\cal B}},[W_4]_{{\cal B}})=-6\neq 0$, więc wielomiany $W_1,W_2, W_3$, $W_4$ są liniowo niezależne.

Załóżmy teraz, że $A$ jest macierzą wymiaru $m\times n$ i $k\leq m,n$. Wybierzmy $k$ wierszy i $k$ kolumn macierzy $A$. Usuńmy z macierzy $A$ wszystkie niewybrane wiersze i kolumny. Pozostanie pewna macierz wymiaru $k\times k$. Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem stopnia $k$ macierzy $A$ (macierz $A$ może mieć wiele minorów stopnia $k$).

Załóżmy, że $A=[a_{ij}]_{n\times n}$. Niech $A'$ będzie macierzą wymiaru $(n-1)\times(n-1)$ powstałą po usunięciu z macierzy $A$ $i$-tego wiersza i $j$-tej kolumny. Liczbę $A_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A')$ nazywamy dopełnieniem algebraicznym wyrazu $a_{ij}$ macierzy $A$.

Przykład.

Dla macierzy $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 5&7&8 2&7&3\end{array}\right]$, $A_{22}=(-1)^{2+2}\det\left[\begin{array}{cc}1&3\\ 2&3\end{array}\right]$.

Wzory w następnym twierdzeniu nazywamy rozwinięciami Laplace'a wyznacznika macierzy $A$ względem $i$-tego wiersza i względem $j$-tej kolumny.

Twierdzenie 6.1 (rozwinięcie Laplace'a)  

$$\det(A)=a_{i1}\cdot A_{i1}+a_{i2}\cdot A_{i2}+\dots+ a_{in}\cdot A_{in}$$

$$\det(A)=a_{1j}\cdot A_{1j}+a_{2j}\cdot A_{2j}+\dots+a_{nj}\cdot A_{nj}$$

Dowód. (idea) Dla dowodu pierwszego wzoru ustalmy $i$. Definiujemy funkcję $G:M_{n\times n}({\mathbb{R}})\rightarrow {\mathbb{R}}$ wzorem

$$G(A)=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}.$$

Następnie sprawdzamy rachunkowo, że funkcja $G$ spełnia warunki D1-D4 z rozdziału 5. Na mocy twierdzenia 5.11, $G(A)=\det(A)$.

Drugi wzór wynika z pierwszego przez transpozycję, na mocy twierdzenia 5.14.

Rozwinięcia Laplace'a wygodnie jest używać do obliczania wyznacznika macierzy, w której jest wiele zer. Będziemy je również stosować do obliczania wielomianu charakterystycznego macierzy wymiaru $\geq 4\times 4$.

Przykład

Stosując rozwinięcie Laplace'a względem pierwszej kolumny dostajemy

$$\det\left[\begin{array}{cccc}0&2&2&1 0&0&1&2 1&2&1&0\\ 0... ...ft[\begin{array}{ccc}2&2&1\\ 0&1&2\\ 0&3&5\end{array}\right]=$$

$$2\cdot(-1)^{1+1}\cdot\det\left[\begin{array}{cc}1&2\\ 3&5\end{array}\right]=2(5-6)=-2.$$

Używając dopełnień algebraicznych możemy podać wzór na macierz odwrotną.

Twierdzenie 6.2   Jeśli macierz $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ jest odwracalna, to

$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left[a'_{ij}\right]_{n\times n},$$

gdzie $a'_{ij}=A_{ji}$ jest dopełnieniem algebraicznym wyrazu $a_{ji}$ macierzy $A$.

Dowód. Niech $A'=\left[a'_{ij}\right]_{n\times n}$ oraz $C=[c_{ij}]=A\cdot A'$. Obliczamy $c_{ij}$.

$$c_{ij}=\sum_{t=1}^na_{it}\cdot a'_{tj}=\sum_{t=1}^na_{it}\cdot A_{jt}$$

Zwróćmy uwagę, że na mocy twierdzenia 6.1 $c_{ij}$ jest równe wyznacznikowi nowej macierzy powstałej z macierzy $A$ przez zastąpienie w niej $j$-tego wiersza przez $i$-ty wiersz. Zatem dla $i=j,\ c_{ij}=\det(A)$, podczas gdy dla $i\neq j, c_{ij}=0$ (bo wówczas w nowej macierzy $i$-ty i $j$-ty wiersz są sobie równe). Dlatego $C=\det(A)\cdot I$, czyli

$$A\cdot\frac{1}{\det(A)}A'=I.$$

Podobnie sprawdzamy, że

$$\frac{1}{\det(A)}A'\cdot A=I,$$

co kończy dowód.

Wzór na macierz odwrotną z powyższego twierdzenia jest praktycznie bezużyteczny w konkretnych rachunkach. Macierz odwrotną można obliczyć w prostszy sposób, metodą ``bezwyznacznikową''.

Załóżmy, że macierz $A$ wymiaru $n\times n$ jest odwracalna. By obliczyć macierz $A^{-1}$ ustawiamy obok siebie macierz $A$ i macierz $I$, tworząc w ten sposób nową macierz wymiaru $n\times 2n$, a następnie dokonujemy ciągu elementarnych operacji polegających na dodawaniu do wierszy nowej macierzy skalarnych krotności innych wierszy w taki sposób, by w miejsce macierzy $A$ otrzymać macierz jednostkową $I$. Wówczas w miejsce macierzy $I$ otrzymamy macierz $A^{-1}$. Metodę tę uzasadnimy w rozdziale 9.

Przykład.

Obliczymy macierz odwrotną do macierzy $A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1 0&1&0 0&1&1\end{array}\right]$.

$$\left[\begin{array}{ccc}1&2&1 0&1&0\\ 0&1&1\end{array}\rig... ...ight]\!\!\!\begin{array}{l}\mbox{} \mbox{}\\ -[2]\end{array}$$

$$\longrightarrow\left[\begin{array}{ccc}1&0&1 0&1&0\\ 0&0&1... ...t[\begin{array}{rrr}1&-1&-1 0&1&0\\ 0&-1&1\end{array}\right]$$

Dlatego $A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}1&-1&-1 0&1&0\\ 0&-1&1\end{array}\right]$.

Teraz zbadamy, jak zmieniają się współrzędne wektora przy zmianie bazy. Załóżmy, że ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\},\ {\cal B}'=\{b'_1,\dots,b'_n\}$ są dwiema bazami przestrzeni $V$.

Problem. Znając współrzędne $[v]_{{\cal B}}$ wektora $v\in V$, znaleźć współrzędne $[v]_{{\cal B}'}$.

Rozwiązanie tego problemu daje następujący fakt.

Fakt 6.3   $[v]_{{\cal B}'}=m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)[v]_{{\cal B}}$.

Dowód. Na mocy definicji macierzy przekształcenia $id:V\rightarrow V$ mamy

$$m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)[v]_{{\cal B}}=[id(v)]_{{\cal B}'}=[v]_{{\cal B}'},$$

gdyż $id(v)=v$.

Z tego względu przyjmujemy następującą definicję

Definicja 6.4   Macierz $m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)$ nazywamy macierzą przejścia od współrzędnych w bazie ${\cal B}$ do współrzędnych w bazie ${\cal B}'$.

Przykład.

Wiemy, że dla pewnych $a_{ij}\in R$

$$\begin{array}{ccccccccc} b_1&=&a_{11}b'_1&+&a_{21}b'_2&+&\dot... ... b_n&=&a_{1n}b'_1&+&a_{2n}b'_2&+&\dots&+&a_{nn}b'_n.\end{array}$$

W wierszach tego układu równości występują współrzędne w bazie ${\cal B}'$ kolejnych wektorów bazy ${\cal B}$. Współrzędne te (zgodnie z algorytmem obliczania macierzy przekształcenia liniowego) to kolejne kolumny macierzy $m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)$. Dlatego

$$m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_... ...&\cdot&\cdot\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right].$$

Uwaga 6.5   $m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)$ jest odwracalna i $m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)^{-1}=m_{{\cal B}'{\cal B}}(id)$.

Dowód. Na mocy twierdzenia 3.11 mamy

$$m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)m_{{\cal B}'{\cal B}}(id)= m_{{\cal B}'{\cal B}'}(id\circ id)=m_{{\cal B}'{\cal B}'}(id)=I.$$

Podobnie sprawdzamy, że $m_{{\cal B}'{\cal B}}(id)m_{{\cal B}{\cal B}'}(id)=I$.

Przykłady.

1. Niech $V={\mathbb{R}}^3, {\cal E}=\{E_1,E_2,E_3\}$ będzie bazą standardową, zaś ${\cal B}=\{u,v,w\}$ będzie bazą utworzoną z wektorów

$$u=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{r}1 1\\ 1\end{arra... ...}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}-2 1\\ 1\end{array}\right].$$

Wówczas

$$u=\frac{1}{\sqrt{3}}E_1+\frac{1}{\sqrt{3}}E_2+\frac{1}{\sqrt{3}}E_3$$

$$v=\frac{1}{\sqrt{2}}E_2-\frac{1}{\sqrt{2}}E_3$$

$$w=-\frac{2}{\sqrt{6}}E_1+\frac{1}{\sqrt{6}}E_2+\frac{1}{\sqrt{6}}E_3.$$

Dlatego

$$m_{{\cal B}{\cal E}}(id)=\left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sq... ...t{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right].$$

W naszym przykładzie macierz ta jest ortogonalna, więc macierz do niej odwrotna $m_{{\cal B}{\cal E}}(id)^{-1}=m_{{\cal E}{\cal B}}(id)$ będzie po prostu jej transpozycją (można też obliczyć ją metodą bezwyznacznikową).

Alternatywnie możemy wyliczyć $m_{{\cal E}{\cal B}}(id)$ wyrażając bazowe wektory $E_1,E_2,E_3$ jako liniowe kombinacje wektorów $u,v,w$.

2. Niech $V={\mathbb{R}}^3$ i $u,v,w$ będą jak w przykładzie 1. Niech

$$v'=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}-1 2\\ -1\end{array}\right].$$

Niech $\Pi\subset {\mathbb{R}}^3$ będzie płaszczyzną $\perp u$ zawierającą $O$. Wówczas $v,w,v'\in \Pi$. Niech $R:{\mathbb{R}}^3\rightarrow {\mathbb{R}}^3$ będzie obrotem wokół osi $L$ wzdłuż wektora $u$ takim, że $R(v)=v'$.

Problem. Znaleźć macierz $m_{{\cal E}}(R)$.

By rozwiązać ten problem znajdziemy najpierw macierz obrotu $R$ w bazie ${\cal B}=\{u,v,w\}$. W tym celu musimy znaleźć współrzędne w bazie ${\cal B}$ obrazów względem obrotu $R$ wektorów $u,v,w$. Jasne, że $R(u)=u$. Wektory $u,v,w$ są jednostkowymi wektorami ortogonalnymi, przy czym płaszczyzna $\Pi$ jest generowana przez wektory $v,w$. Zauważamy, że

$$R(v)=v'=\frac{\sqrt{3}}{2}v+\frac{1}{2}w,$$

co daje natychmiast współrzędne wektora $v'$ w bazie ${\cal B}$. Współrzędne te możemy też znaleźć w inny sposób, korzystając z uwagi 6.3: $[v']_{{\cal B}}=m_{{\cal E}{\cal B}}(id)[v']_{{\cal B}}$, to znaczy

$$[v']_{{\cal B}}=\left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{3}}&\f... ...\\ \frac{2}{\sqrt{6}} -\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right].$$

Kolejny alternatywny sposób znalezienia współrzędnych $[v']_{{\cal B}}$ polega na rozwiązaniu układu równań $v'=xu+yv+zw$ o niewiadomych $x,y,z\in {\mathbb{R}}$.

Dlatego w nowym układzie współrzędnych o wektorach bazowych $u,v,w$ $R$ jest obrotem wokół osi wzdłuż wektora $u$, o kąt $\pi/6$. Widzimy więc, że

$$m_{{\cal B}}(R)=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 0&\frac{\sqr... ...ac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right].$$

By z macierzy $m_{{\cal B}}(R)$ dostać macierz $m_{{\cal E}}(R)$, posłużymy sie następującą uwagą, która opisuje, jak zmienia się macierz przekształcenia liniowego przy zmianie bazy.

Uwaga 6.6   Załóżmy, że $F:V\rightarrow V$ jest liniowe oraz ${\cal B},{\cal C}$ są dwiema bazami $V$. Wówczas

$$m_{{\cal C}{\cal C}}(F)=m_{{\cal B}{\cal C}}(id)m_{{\cal B}{\cal B}}(F)m_{{\cal C}{\cal B}}(id).$$

Dowód. Stosujemy twierdzenie 3.11 do funkcji $id\circ F\circ id = F$.

Stosując uwagę 6.6 w naszym przykładzie widzimy, że $m_{{\cal E}}(R)=$
$m_{{\cal B}{\cal E}}(id)m_{{\cal B}}(R)m_{{\cal E}{\cal B}}(id)$, czyli

$$m_{{\cal E}}(R)= \left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{3}}&0... ...rt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right].$$

Można też znaleźć macierz $m_{{\cal E}}(R)$ znajdując najpierw macierz $m_{{\cal B}{\cal E}}(R)$. W tym celu musimy znaleźć współrzędne w bazie standardowej wektorów $R(u), R(v)$ i $R(w)$, są to kolumny macierzy $m_{{\cal B}{\cal E}}(R)$. Wiemy, że $R(u)=u$ i $R(v)=v'$, mamy więc już pierwsze dwie kolumny. By znaleźć $R(w)$ zauważmy, że wektory $u,v,w$ są ortogonalne, jednostkowe i dodatnio zorientowane. Zatem również $R(u),R(v),R(w)$ są takie, to znaczy

$$R(w)=R(u)\times R(v)=u\times v'=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begi... ...}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}-1\\ 0 1\end{array}\right].$$

Dlatego

$$m_{{\cal B}{\cal E}}(R)= \left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sq... ...t{3}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right].$$

By znaleźć teraz macierz $m_{{\cal E}}(R)$, korzystamy z twierdzenia 3.11 i z tego, że $R\circ id=R$. Dlatego $m_{{\cal E}{\cal E}}(R)=m_{{\cal E}{\cal E}}(R\circ id)= m_{{\cal B}{\cal E}}(R)m_{{\cal E}{\cal B}}(id)$. Czyli

$$m_{{\cal E}}(R)= \left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{3}}&-... ...rt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right].$$