Topologia Różniczkowa


Topologia różniczkowa dostarcza pojęć i technik umożliwiających badanie gładkich rozmaitości, zadanych na nich gładkich struktur, oraz ich gładkich odwzorowań. Stanowi podstawę m.in. w takich działach i zagadnieniach matematyki jak: teoria osobliwości i teoria stabilności gładkich odwzorowań, teoria katastrof, teoria układów dynamicznych, klasyfikacje gładkich rozmaitości. Na wykładzie przedstawione zostaną podstawowe pojęcia i narzędzia topologii różniczkowej, takie jak: dżety, topologia Whitney'a, położenie ogólne i transwersalność, stopień odwzorowania, funkcje Morse'a, i inne. Pokazanych też zostanie kilka zastosowań technik topologii różniczkowej: klasyfikacja powierzchni i opisy innych rozmaitości gładkich, twierdzenia o zanurzaniu rozmaitości.

Orientacyjny plan wykladu:
1. Twierdzenie Sarda (o tym, że obraz zbioru krytycznego przez odwzorowanie gładkie ma miarę zero).
2. Rozmaitości dżetów – jest to uogólnienie pojęcia wiązki stycznej dotyczące różniczek wyższych rzędów.
3. Topologia Whitney'a na przestrzeni gładkich odwzorowań rozmaitości.
4. Twierdzenia o transwersalności.
5. Twierdzenie o zanurzaniu rozmaitości w przestrzeni euklidesowej.
6. Funkcje Morse'a i rozkłady rozmaitości na rączki.
7. Klasyfikacja gładkich powierzchni.
8. Stopień odwzorowania gładkiego i indeks pola wektorowego.

Pomocna literatura:
1. M. Hirsch, „Differential Topology”, rozdziały 2, 3 i 5, oraz fragmenty rodziałów 1 i 4 plik pdf
2. M. Golubitski, V. Guillemin, „Stable mappings and their singularities”, Chapter II, str. 30-71   plik pdf
3. J. Milnor, „Topology from the differentiable viewpoint”, rozdziały 1-6, str. 1-41   plik pdf
(istnieje tłumaczenie polskie pt.: „Topologia z różniczkowego punktu widzenia”)

Lists of exercises and problems:   list 1   list 2   list 3   list 4   list 5   list 6   next lists will appear soon ...