Opracowania dotyczące geometrii nieeuklidesowej (zwanej też geometrią hiperboliczną)

Opracowania z tej tematyki zamieszczam w dwóch działach.

1. Dział pierwszy zawiera 4 prace stanowiące podstawowe wprowadzenie do płaszczyzny nieeuklidesowej:
     [H1] "Geometria Poincarego i Kleina. Skrypt do zajęć z podstaw geometrii i geometrii nieeuklidesowej" autorstwa Izabeli Przezdzink;
     [H2] "Okręgi, horocykle i ekwidystanty w modelu Kleina płaszczyzny nieeuklidesowej" autorstwa Agaty Mazur;
     [H3] "Aksjomatyczna teoria pola wielokątów nieeuklidesowych" autorstwa Justyny Zakręt;
     [H4] "Klasyfikacja izometrii płaszczyzny hiperbolicznej" autorstwa Sebastiana Guza.

2. Dział drugi zawiera elementarne omówienia kilku bardziej specyficznych zjawisk na płaszczyźnie nieeuklidesowej:
     [Z1] "Parkietaże platońskie i szachownice archimedesowskie w geometrii hiperbolicznej" autorstwa Mateusza Suwary;
     [Z2] "Równoważność przez rozkład figur w geometrii nieeuklidesowej" autorstwa Karoliny Tomaszewskiej.
     [Z3] "Obliczenia długości, krzywizny i pól wycinków dla horocykli, ekwidystant i okręgów nieeuklidesowych" autorstwa Grzegorza Słabonia.
     [Z4] "Dowód lematu z listu Coxetera do Eschera" autorstwa Marii Ressel.

Poniżej zamieszczam nieco obszerniejsze omówienia prac z tych dwóch działów.

Dział 1: Wprowadzenie do podstawowych pojęć i własności w geometrii nieeuklidesowej

Ten dział zawiera 4 prace stanowiące podstawowe wprowadzenie do płaszczyzny nieeuklidesowej. Zasadnicze wprowadzenie zawiera skrypt [H1]. Jest on uzupełniony dodatkowymi opracowaniami omawiającymi nieco bardziej zaawansowane zagadnienia, jak nieeuklidesowe pojęcie pola (omówione w sposób aksjomatyczny w [H3]), jak klasyfikacja wszystkich izometrii płaszczyzny nieeuklidesowej (omówiona w pracy [H4]), i jak opis specyficznie nieeuklidesowych figur i linii zwanych horocyklami i ekwidystantami, stanowiącymi w tej geometrii uogólnienia pojęcia okręgu (patrz praca [H2]). Poniżej podaję nieco bardziej wyczerpujący opis zawartości tych opracowań.

[H1] Skrypt do geometrii nieeuklidesowej - model dyskowy Kleina i półpłaszczyznowy Poincare'go

Izabela Przezdzink, "Geometria Poincarego i Kleina. Skrypt do zajęć z podstaw geometrii i geometrii nieeuklidesowej", praca magisterska, 2010. plik pdf

Ten skrypt zawiera elementarne wprowadzenie do geometrii nieeuklidesowej. Jest dostępny nawet dla interesujących się matematyką uczniów szkół średnich. Geometria nieeuklidesowa jest w nim omawiana poprzez opisanie tzw. modeli tej geometrii, a następnie dociekanie zjawisk zachodzących w tych modelach. (Nie jest to więc ujęcie aksjomatyczne, gdzie własności wyprowadza się metodą dedukcji z podstawowych zasad zwanych aksjomatami, lecz raczej ujęcie poglądowe, przez ogląd modeli ilustrujących płaszczyznę nieeuklidesową.)
W skrypcie zaprezentowane są wyczerpująco dwa modele płaszczyzny nieeuklidesowej: model Kleina oraz model półpłaszczyznowy Poincare'go. Czytelnik dowie się jak efektywnie posługiwać się podstawowymi pojęciami i obiektami geometrii nieeuklidesowej, takimi jak długość odcinka, miara kąta, wielokąt, okrąg. Pozna też specyficzne zjawiska i obiekty nieznane w zwykłej geometrii, takie jak asymptotyczność i rozbieżność prostych, punkty i wielokąty idealne, figury zwane horocyklami oraz linie zwane ekwidystantami. Skrypt zawiera też opis izometrii płaszczyzny nieeuklidesowej, oraz pojęcia przystawania figur, a także omawia koncepcję pola dla wielokątów i wielokątów idealnych w tej geometrii.

[H2] Okręgi, horocykle i ekwidystanty w modelu Kleina geometrii nieeuklidesowej

Agata Mazur, "Okręgi, horocykle i ekwidystanty w modelu Kleina płaszczyzny nieeuklidesowej", praca magisterska, 2015. plik pdf

Ta praca jest uzupełnieniem opisu modelu Kleina płaszczyzny nieeuklidesowej przedstawionego w skrypcie [H1]. W pracy opisany jest wygląd (nieeuklidesowych) okręgów w modelu Kleina, a także wygląd figur (linii) zwanych horocyklami i ekwidystantami (są to figury podstawowe dla geometrii nieeuklidesowej, a nie mające odpowiedników w zwykłej geometrii). Okazuje się, że wszystkie te figury w modelu Kleina są reprezentowane pewnymi elipsami (lub ich fragmentami). Czytelnik dowie się między innymi które elipsy reprezentują które spośród tych figur. Dużą rolę w pracy odgrywa pomocniczy model płaszczyzny nieeuklidesowej zwany "półsferą Beltramiego", co da czytelnikowi okazję zapoznać się wyczerpująco także z tym mniej popularnym modelem. Nieeuklidesowe okręgi, horocykle i ekwidystanty w modelu Beltramiego okazują się być okręgami (lub ich fragmentami) leżącymi na półsferze.

Rysunek obok przedstawia horocykl w modelu półsferycznym Beltrami'ego (czerwony okrąg na powierzchni półsfery oznaczony literą H) i jego odpowiednik (rzut) w modelu Kleina (niebieska elipsa w dysku ograniczającym półsferę).

[H3] Pole w geometrii nieeuklidesowej - ujęcie aksjomatyczne

Justyna Zakręt, "Aksjomatyczna teoria pola wielokątów nieeuklidesowych", praca magisterska, 2006. plik pdf

Ta praca zawiera bardziej wyczerpujące niż w skrypcie [H1] omówienie zagadnienia pola dla wielokątów (oraz wielokątów idealnych) na płaszczyźnie nieeuklidesowej. Omówienie ma charakter aksjomatyczny: startując z czterech fundamentalnych założeń dotyczących pola metodą dedukcji wyprowadzone są jego rozmaite własności, w tym wyliczenia pól dla wielokątów. Kulminacją jest wzór mówiący, że pole wielokąta (a także wielokąta idealnego) jest równe jego defektowi kąta, czyli różnicy między sumą kątów wewnętrznych dla analogicznego wielokąta na płaszczyźnie euklidesowej, a sumą kątów wewnętrznych danego wielokąta nieeuklidesowego. W pracy wykorzystuje się pomocniczo zarówno model Kleina jak i model półpłaszczyznowy geometrii nieeuklidesowej, a najważniejsze ich aspekty są krótko wprowadzone w sposób samowystarczalny na początku pracy.

Rysunek obok przedstawia figurę wielokątną w modelu Kleina płaszczyzny nieeuklidesowej. Z pracy dowiemy się jak można wyznaczyć pole takiej figury.

[H4] Rodzaje i klasyfikacja nieeuklidesowych izometrii za pomocą modelu półpłaszczyznowego Poincare'go

Sebastian Guz, "Klasyfikacja izometrii płaszczyzny hiperbolicznej", praca magisterska, 2010.
plik pdf

Ta praca jest znacznym rozszerzeniem i uzupełnieniem wiadomości o izomertriach płaszczyzny nieeuklidesowej. Wszystko jest w niej omawiane za pomocą modelu półpłaszczyznowego Poincare'go. Zaczyna się od wyprowadzenia pewnego wygodnego wzoru na odległość w tym modelu. Następnie opisane są rozmaite przykłady izometrii, a mianowicie odbicia względem prostych, obroty wokół punktów, translacje osiowe wzdłuż prostych (podobne do zwykłych translacji, ale specyficzne dla geometrii nieeuklidesowej), symetrie z poślizgiem, oraz zupełnie nowe izometrie zwane translacjami horocyklicznymi. Praca zawiera też pełną klasyfikację izometrii płaszczyzny nieeuklidesowej, czyli listę (opis) wszystkich takich izometrii. Okazuje się, że nie ma innych izometrii płasdzczyzny nieeuklidesowej niż wspomniane powyżej, czyli odbicia, obroty, translacje osiowe i horocykliczne, oraz symetrie z poślizgiem.

Tabela obok prezentuje rodzaje izometrii płaszczyzny nieeuklidesowej i ich cechy rozpoznawcze.

[Z1] Parkietaże platońskie (foremne) oraz szachownicowe parkietaże archimedesowe (półforemne) płaszczyzny nieeuklidesowej

Mateusz Suwara, "Parkietaże platońskie i szachownice archimedesowskie w geometrii hiperbolicznej", praca magisterska, 2012. plik pdf

Na płaszczyźnie nieeuklidesowej niemożliwe jest skalowanie figur bez zmiany ich kształtu. Ma to różne konsekwencje, ale jedna z nich dotyczy parkietaży. Nie ma na płaszczyźnie nieuklidesowej problemu ze zdefiniowaniem analogonów pojęć parkietaży platońskich i archimedesowych, czyli specjalnych parkietaży których wszystkie klepki są (nieeuklidesowymi) wielokątami foremnymi. Co więcej, takich parkietaży jest na płaszczyźnie nieeuklidesowej dużo więcej niż w zwsykłej geometrii. Jednak rozmiar wielokątów wchodzących w skłąd takich parkietaży jest jednoznacznie zdeterminowany przez rodzaj parkietażu (nie jest możliwe przeskalowanie całego parkietażu). Praca zawiera omówienie wspomnianych powyżej pojęć i zjawisk, a także wyliczenia długości boków i miar kątów w wielokątach foremnych będących klepkami poszczególnych parkietaży.

Na płaszczyźnie nieeuklidesowej mamy do czynienia z większym bogactwem zjawisk geometrycznych niż na "zwykłej" płaszczyźnie euklidesowej. Przykładowo, oprócz takich regularnych linii jak okręgi, mamy jeszcze tzw. horocykle oraz ekwidystanty. Horocykli nie da się opisać w jednym zdaniu, ale ekwidystanta, jak sama nazwa wskazuje, to linia utworzona z wszystkich punktów znajdujących się w ustalonej odległości od ustalonej prostej (po ustalonej stronie). Na płaszczyźnie nieeuklidesowej taka linia okazuje się nie być prostą! Jest to linia o stałym zakrzywieniu, cały czas zakręcająca nieco w kierunku tej prostej od której pozostaje w stałej odległości.
Tematem zamieszczonej tu pracy jest wyliczanie długości odpowiednich kawałków horocykli i ekwidystant, ale też nieeuklidesowych (lub inaczej hiperbolicznych) okręgów, wyliczanie pól figur ograniczonych fragmentami tych linii, a także wyliczenie krzywizny tych linii. Wyliczenia poprzedzone są wprowadzeniem wszystkich niezbędnych pojęć i wiadomości z geometrii nieeuklidesowej, a także wprowadzeniem dotyczącym pojęcia krzywizny linii. Wyliczenia dokonywane są metodami analitycznymi, z wykorzystaniem pojęć granicy, pochodnej, oraz metod ich obliczania (np. reguła de l'Hospitala). Nie wykorzystuje się całek. Długość linii obliczana jest jako granica długości przybliżających ją łamanych, zaś pole obszaru to granica pól przybliżającuych ten obszar wielokątów.

Holenderski grafik M.C. Escher znany jest z fascynacji zjawiskami symetrii i geometrycznej regularności. Pewnego razu, przeglądając książkę kanadyjskiego matematyka H.S.M. Coxetera, natrafił na ilustracje przedstawiające regularne parkietaże płaszczyzny nieeuklidesowej, zobrazowane w modelu dyskowym Poincare'go. Ilustracje te niezmiernie zafascynowały Eschera, więc podjął próbę zrekonstruowania ich "po swojemu". Ponieważ miał z tym ogromne trudności, a jednocześnie był przekonany, że muszą tu zachodzić wyraziste związki i zależności, zwrócił się do Coxetera listownie o pomoc. Coxeter udzielił Escherowi kilku wskazówek, które były w rzeczywistości pewnymi matematycznymi twierdzeniami, i jednej z takich wskazówek dotyczy prezentowana praca.
Autorka omawia wyczerpująco i ciekawie epizod korespondencji pomiędzy Coxeterem a Escherem. Przedstawia też podstawowe fakty dotyczące płaszczyzny nieeuklidesowej, i jej modelu dyskowego Poincare'go. Praca zawiera też zgrabny elementarny dowód lematu, który był jedną ze wskazówek jakich udzielił Escherowi Coxeter.