Discrete Harmonic Analysis and Noncommutative Probability

About the seminar

Seminar of the Mathematical Analysis Group in Institute of Mathematics, University of Wroclaw.

The main organizer: prof. Marek Bożejko

Time and place: every Thursday, 10.00 - 12.00 Institute of Mathematics, Wrocław University, room 604.

Topics: commutative and non-commutative harmonic analysis, quantum groups, combinatorics, quantum probability, free probability, Young diagrams, random matrices, convolutions of measures, ...

People you may meet here: Marek Bożejko (IMPAN), Biswarup Das, Wiktor Ejsmont (Uniwersytet Ekonomiczny), Rafał Kobuszewski, Anna Krystek (Politechnika Wrocławska), Romuald Lenczewski (Politechnika Wrocławska), Wojciech Młotkowski, Piotr Śniady, Anna Wysoczańska-Kula, Janusz Wysoczański

See also:

Current schedule:

Thrusday, July 12, 2018, 10:15-11:15, room HS

Yasuyuki Kawahigashi (Tokyo Univ)

Conformal field theory, vertex operator algebras and operator algebras

We have two mathematical approaches to chiral conformal field theory. One is theory of vertex operator algebras and started with the Moonshine conjecture. The other is algebraic quantum field theory based on operator algebras. We will show how to relate the two theories directly for the first time.

Thrusday, July 12, 2018, 11:30-12:15, room HS

Tiju Cherian John (Bangalore)

Real Normal operators and Williamson's Normal Form

A simple proof is provided to show that any bounded normal operator on a real Hilbert space is orthogonally equivalent to its transpose(adjoint). A structure theorem for real skew-symmetric operators is also proved using elementary methods. The later theorem helps to prove a generalization of Williamson's normal form for bounded positive operators on infinite dimensional separable Hilbert spaces. This has applications in the study of infinite mode Gaussian states.


Previous talks:

Thursday, June 14, 2018, 10:15-12:00, room 604

Kamil Szpojankowski (Politechnika Warszawska)

O pewnym związku pomiędzy c-wolnością i wolnością infinitezymalną

Referat dotyczyć będzie dwóch rozszerzeń pojęcia wolności: c-wolności i wolności infinitezymalnej. Oba te pojęcia odwołują się do nieprzemiennej przestrzeni probabilistycznej, w której do zdefiniowania pewnego typu niezależności wykorzystuje się dwa funkcjonały, w przypadku c-wolności mamy funkcjonały $\varphi$ i $\chi$ takie że $\varphi(1)=\chi(1)=1$, w przypadku infinitezymalnej wolności, zamiast funkcjonału $\chi$ rozpatruje się funkcjonał oznaczany przez $\varphi'$ o własności $\varphi'(1)=0$. W referacie przypomnę kombinatoryczne narzędzia charakteryzujące oba typy niezależności. W przypadku c-wolności przedstawię związek pomiędzy kumulantami zdefiniowanymi przez Bożejkę, Leinerta i Speichera i kumulantami badanymi przez Cabanala-Duvillarda. Przypomnę również nieprzecinające partycje typu B związane z infinitezymalną wolnością. Przedstawię również konstrukcję która wykorzystując funkcjonał $\chi$ pozwala zdefiniować funkcjonał $\varphi'$, w taki sposób żeby struktury które były c-wolne względem pary $(\varphi,\chi)$ były infinitezymalnie wolne względem pary $(\varphi,\varphi')$. Omówię również trudności związane ze wspomnianą konstrukcją. Referat oparty pracy wspólnej z M. Fevrier (Paryż, Francja), M. Mastnak (Halifax, Kanada) i A. Nica (Waterloo, Kanada).

Thursday, June 7, 2018, 10:15-12:00, room 604

Piotr Hajac (IMPAN)

AN EQUIVARIANT PULLBACK STRUCTURE OF TRIMMABLE GRAPH C*-ALGEBRAS

We introduce a class of graphs called trimmable. Then we show that the Leavitt path algebra of a trimmable graph is graded-isomorphic to a pullback algebra of simpler Leavitt path algebras and their tensor products. Next, specializing the ground field to the field of complex numbers and completing Leavitt path algebras to graph C*-algbras, we prove that the graph C*-algebra of a trimmable graph is $U(1)$-equivariantly isomorphic with an appropriate pullback C*-algebra. As a main application, we consider a trimmable graph yielding the C*-algebra $C(S^{2n+1}_q)$ of the Vaksman-Soibelman quantum sphere, and use the resulting pullback structure of its gauge invariant subalgebra $C(CP^n_q)$ defining the quantum complex projective space to show that the generators of the even K-group of $C(CP^n_q)$ are given by a Milnor connecting homomorphism applied to the (unique up to sign) generator of the odd K-group of $C(S^{2n-1}_q)$ and by the generators of the even K-group of $C(CP^{n-1}_q)$. Based on joint works with Francesco D'Andrea, Atabey Kaygun and Mariusz Tobolski.

Thursday, May 24, 2018, 10:15-12:00, room 604

Michał Wojtylak (Uniwersytet Jagielloński)

The Crouzeix conjecture. Deformations.

Crouzeix observed in 2007 that for any operator $A$ in a Hilbert space and any polynomial $p$ \[ \| p(A) \| \leq C \sup_W |p| \] where $W$ is the numerical range of $A$ and the constant $C$ is universal, i.e. does not depend neither on the operator nor on the space. He also proved in the same paper that $2 \leq C \leq 11.08$ and conjectured that $C=2$. We will review recent developments on proving the conjecture $C=1+\sqrt2$ and show some deformations of the numerical range that may lead to new constants.


Thursday, May 17, 2018, 10:15-12:00, room 604

Romuald Lenczewski (Politechnika Wrocławska)

Macierze losowe, ciągłe układy cyrkularne i operator trójkątny

I will discuss a realization of the limit joint *-distributions of complex independent Gaussian random matrices in terms of suitably defined creation and annihilation operators living in some direct integral of Hilbert spaces. These operators are decomposed in terms of continuous circular systems of operators acting between the fibers of the considered Hilbert space. This approach leads to a bijective proof of the formula for *-moments of the triangular operator of Dykema and Haagerup, using the enumeration formula of Chauve, Dulucq and Rechnizter for alternating ordered rooted trees.


Wednesday, April 25, 2018, 10:15-12:00, room 604

Adam Burkchard (UAM, Poznań)

O hipotezach Gouldena i Jacksona

W 1996 r. Goulden i Jackson wprowadzili rodzinę współczynników $( c_{\mu, \nu}^{\lambda} )$ indeksowaną trójkami partycji, która pojawia się w rozwinięciu w szereg potęgowy pewnej sumy Cauchy'ego symetrycznych wielomianów Jacka $ J^{(\alpha )}_\pi $. Goulden i Jackson przypuszali, że za współczynnikami $c_{\mu, \nu}^{\lambda}$ ukryta jest kombinatoryka związana ze skojarzeniami. Postawiona przez nich hipoteza ,,o skojarzeniach Jacka'' pozostaje do dzisiaj otwarta. Charaktery Jacka są uogólnieniem charakterów grup symetrycznych oraz obiektami dualnymi do wielomianów Jacka. Badamy stałe strukturalne $ g_{\mu, \nu}^{\lambda} $ charakterów Jacka. Są one uogólnieniem stałych strukturalnych grup symetrycznych. Podajemy wzory na współczynniki najwyższych stopni wielomianów $ g_{\mu, \nu}^{\lambda} $ i $ c_{\mu, \nu}^{\lambda} $. Prezentujemy te rezultaty w kontekście hipotezy ,,o skojarzeniach Jacka''.


Thursday, 19 April, 2018, 10:15-12:00, room 604

Jacek Wesołowski (Politechnika Warszawska)

Kwadratowe harnessy - brakujące ogniwo miedzy wielomianami Askey-Wilsona a ASEPami

Pokażę, jak za pomocą kwadratowych harnessów, czyli procesów stochastycznych o kwadratowej strukturze warunkowej drugiego rzędu, można powiązać wielomiany Askey-Wilsona oraz ASEPy (asymmetric simple exclusion process). ASEP to markowski model losowo poruszających się cząstek, które nie mogą zajmować tej samej pozycji i mają większą tendencję do przemieszczania się w prawo niż w lewo. Powiązanie polega na, z jednej strony reprezentacji funkcji generującej rozkładu stacjonarnego zajętości pozycji w ASEPie z momentami kwadratowych harnessów, a z drugiej strony na wykorzystaniu wielomianów Askey-Wilsona do konstrukcji ortogonalnych wielomianów martyngałowych definiujących kwadratowy harness. Pokażę również, jak można wykorzystać omawiane powiązanie do badania własności ASEPów. Są to wyniki prac wspólnych z W. Brycem (Univ. of Cincinnati). Wspomnę też o ciekawych nowych wynikach W. Bryca i Y. Wanga (ostatnio pracujemy nad ich rozszerzeniem) dotyczących asymptotyki ASEPów, w których jako obiekty graniczne pojawiają się wycieczki i meandry brownowskie.


Thursday, 12 April, 2018, 10:15-12:00, room 604

Andrzej Sitarz (Uniwersytet Jagielloński)

Braided Hopf algebras from twisting

For a complex parameter q, the algebra $A(SU_q(2))$ was shown to be a braided Hopf algebra in some braided tensor category. We show that there is a class of Hopf algebras for which, using the general framework of twisting, one can construct their braided versions. In particular, the Hopf algebras of $SU_q(n)$ and the quantum double torus belong to this class. Furthermore, the twisting can also be applied to the (co-,bi-)modules over the braidable Hopf algebras, and permits us to consider braided differential calculi. (Joint work with Arkadiusz Bochniak.)


Thursday, 5 April, 2018, 10:15-12:00, room 604

Tristan Bice (IM PAN)

C*-algebras with and without <<-increasing approximate units

Abstract: Approximate units have long been a fundamental tool in C*-algebra theory. Often they need to be increasing, not just with respect to the canonical order, but also the stronger transitive relation <<, where a << b means a=ab. However, until now, it was not known if such approximate units always exist even in non-separable C*-algebras. Our work extends the standard existence result from sigma-unital to omega_1-unital C*-algebras. On the other hand, we obtain omega_2-unital counterexamples by modifying a classical construction of Akemann. With extra set theoretic assumptions, namely the existence of Canadian trees and Q-sets, we can also lower the representation density of our counterexamples and make them scattered, improving on results of Farah and Katsura concerning AF and LF algebras. It follows that the question of whether AF and LF C*-algebras can be distinguished in B(H), for separable H, is independent of ZFC.


Thursday, 29 March, 2018, 10:15-12:00, room 604

Franz Lehner (TU Graz)

Sums of Commutators in Free Probability

In joint work with W.Ejsmont we investigate distributions of quadratic forms in free random variables. This time we show that the following conditions are equivalent for such a quadratic form:
1. it exhibits the phenomenon of cancellation of free cumulants,
2. it preserves infinite divisibility,
3. it can be written as a sum of commutators.
The proof relies on the combinatorics of noncrossing cumulants.


Thursday, 22 March, 2018, 10:15-12:00, room 604

Rafał Sałapata

Łańcuchy partycji nieprzecinających a kombinatoryka granicznych momentów macierzy Wisharta.

W referacie wyjaśnię zaskakujący (przynajmniej dla mnie) fakt, że współczynniki wielomianów Fussa-Narayany wielu zmiennych, które są momentami granicznymi macierzy Wisharta, są jednocześnie liczbami odpowiednich łańcuchów w kracie partycji nieprzecinających. Uzasadnienie tej obserwacji oprę na dwóch wprowadzonych przeze mnie bijekcjach oraz wcześniej znanych wynikach.


Thursday, 15 March, 2018, 10:15-12:00, room 604

Wojciech Młotkowski

Rodziny rozkładów typu Cauchy'ego-Stieltjesa

Dla dowolnego rozkładu $\nu$ o nośniku zwartym, wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1 definiujemy, przy pomocy jądra Cauchy'ego-Stieltjesa, pewną funkcję $V_{\nu}(m)$ oraz rodzinę rozkładów $\nu_{m}$ w taki sposób, że $\nu_{0}=\nu$, $m$ jest wartością oczekiwaną, a $V_{\nu}(m)$ jest variancją rozkładu $\nu_{m}$. Klasycznym odpowiednikiem rodzin typu Cauchy'ego-Stieltjesa są naturalne rodziny wykładnicze (natural exponential families). W naszej wspólnej pracy, z Włodkiem Brycem i Raoufem Fakhfakhem, badamy klasę funkcji $V(m)$ które powstają w taki sposób. Stosując narzędzia wolnej probabilistyki podajemy charakteryzację w przypadku, gdy $V(m)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej 3. Jest to kontynuacja referatu Włodka Bryca z dnia 30.11.2017.


Thursday, 8 March, 2018, 10:15-12:00, room 604

Lahcen Oussi

Analogue of Poisson Distribution in bm-Discrete Fock Space

The analogue of Poisson distribution is constructed by using creation, annihilation and position operators on the bm-discrete Fock space. The latter a kind of "Fock space" generated by all the increasing sequence in some countable, partially ordered set associated with positive symmetric cones in Euclidean spaces, e.g. $\mathbb{R}_{+}^{d}$ or the Lorentz cone $\Lambda_{d}^{1}$ in Minkowski spacetime.


Thursday, 1 March, 2018, 10:00-12:00, room 604

Alexandru Nica (University of Waterloo, Ontario, Canada)

Free probabilistic aspects of meandric systems

I will consider a family of diagrammatic objects (well-known to mathematical physicists and to combinatorialists) which go under the name of "meandric systems". I will explain how meandric systems arise in calculations done in a non-commutative probability framework, and I will show how tools from free probability can be used to study some aspects of the asymptotic behaviour of a random meandric system of large order. The talk is based on a joint work with Ian Goulden and Doron Puder (arXiv:1708.05188) and on a joint work with Ping Zhong (arXiv:1801.05501).


Thursday, 22 February, 2018, 10:00-12:00, room 604

Piotr Śniady (IM PAN)

Jack polynomials and their (dual) combinatorics

Jack polynomials can be regarded as a deformation of Schur polynomials, a deformation which depends on one parameter. Their combinatorics was investigated by several prominent researchers, including RIchard Stanley. In 1996 Ian P. Goulden and David M. Jackson formulated several conjectures (which remain open until today) and which suggest that Jack polynomials are related to some deformation of the group algebras of the symmetric groups. During the talk I will present some recent results of Maciej Dołęga and Adam Burchardt.


Thursday, 8 February, 2018, 10:00-12:00, room 604

Wiktor Ejsmont

Wolne prawo tangensa

W referacie przedstawię centralne twierdzenie graniczne dla sumy wolnych komutatorów, które nazwaliśmy wolnym twierdzeniem tangensa.


Thursday, 25 January, 2018, 10:00-12:00, room 604

Biswarup Das

Locally compact quantum group

The theory of Locally compact quantum group, as opposed to the theory of compact quantum group, is relatively recent. The beginning of the subject was a paper of S.L. Woronowicz in 1998, where he proposed a possible set of axioms for what could be thought of as a locally compact quantum group. However, the only stumbling block of his theory was that it was not clear how to prove the existence of Haar weights.

In 2001, Kustermans and Vaes proposed another viewpoint for studying locally compact quantum group by assuming the existence of Haar weights, and showed that there approach in particular is a special case of the more general framework of Woronowicz. Although classically they give locally compact groups, it remained as an open problem, whether the two approaches are same i.e. they in essence define the same object.

In this talk we will give an introduction to the subject of locally compact quantum group through working with some classical groups. We will not go into analytical details, this would be a gentle introduction to the major aspects of the subject and will prepare the ground for following talk on Property (T).


Thursday, 4 January, 2018, 10:00-12:00, room 604

Anna Wysoczańska-Kula

Projekcje w wolnej probabilistyce

Celem odczytu jest przedstawienie dowodu twierdzenia o wolnych projektorach z nieopublikowanej pracy K. Frankiewicza.

Uwaga! W związku z wyjazdami naukowymi członków seminarium spotkania 11.01 i 18.01 są odwołane.


Thursday, 14 December, 2017, 10:00-12:00, room 604

Marek Bożejko

Wolna probabilistyka i zwiazki z logika wielowartosciowa Lukasiewicza oraz entropią Tsallisa

Celem odczytu sa nastepujace sprawy:
1. Wolne niezależne projektory, przykłady w iloczynach wolnych grup i ich opis.
2. Elementy logiki Łukasiewicza.
3. q-Entropia Tsallisa.
4. Problemy.


Thursday, 7 December, 2017, 10:00-12:00, room 604

Biswarup Das

Kazhdhan property (T) for quantum groups: summary and new results. II

This will be a continuation of the talk delivered on November 23, 2017.


Thursday, 30 November, 2017, 10:00-12:00, room 604

Włodek Bryc (University of Cincinnati)

Rodziny miar z jądrem Cauchy'ego i wielomianową funkcją wariancji.

Rodziny miar z jadrem Cauchy'ego mają wiele własności podobnych do rodzin miar z jądrem wykładniczym. (W statystyce rodziny miar z jądrem wykładniczym noszą nazwę naturalnych rodzin wykładniczych - natural exponential families.) W obu przypadkach rodzina miar ma naturalną parametryzację przez średnią i jest jednoznacznie wyznaczona przez tzw. funkcję wariancji, czyli przez wariancję wyrażoną jako funkcja średniej. W referacie skoncentruję się na przypadku, gdy funkcja wariancji jest wielomianem stopnia 3. Konstrukcja takiej rodziny korzysta z analitycznych metod wolnej probabilistyki, w szczególności z multiplikatywnej wolnej potęgi miary Marchenko-Pastura z prac Wojciecha Młotkowskiego i jego współautorów. Są to wyniki wspólne z Raouf Fakhfakh (Sfax, Tunezja) i Wojciechem Młotkowskim (Wrocław)


Thursday, 23 November, 2017, 10:00-12:00, room 604

Biswarup Das

Kazhdhan property (T) for quantum groups: summary and new results.

Property (T) was introduced in the mid 60’s by D. Kazhdan, as a tool to demonstrate that a large class of lattices are finitely generated. The discovery of Property (T) was a cornerstone in group theory and the last decade saw its importance in many different subjects like ergodic theory, abstract harmonic analysis, operator algebra and some of the very recent topics like C*-tensor categories. In the late 1980’s the subject of operator algebraic quantum groups gained prominence starting with the seminal work of Woronowicz, followed by works of Baaj, Skandalis, Woronowicz, Kustermans, Vaes and others. Quantum groups can be looked upon as noncommutative analogues of locally compact groups and in this sense it was quite natural to explore the possibility of extending the notion of Property (T) to the realm of quantum groups. This was done in the following sequence: Property (T) was first studied within the framework of Kac algebras (a precursor to the theory of locally compact quantum groups), then for algebraic quantum groups and discrete quantum groups, and finally for locally compact quantum groups by Joita, Petrescu, Fima, Soltan, Kyed, Skalski, Viselter, Daws, Brannan and Kerr. Thus far, Property (T) was studied only for quantum groups with trivial scaling automorphism group. Quite recently we found a way of extending all the above studies to quantum groups with non-trivial scaling automorphisms. This talk will be a summary of the results that we have. We will start from the situation with groups abd then move over gradually to the quantum groups. Based on an ongoing joint work with Pekka Salmi.


Thursday, 16 November, 2017, 10:00-12:00, room 604

Uwe Franz (Universite de Franche-Comte, Francja)

On monotone independence and quantum stochastic processes with monotonically independent increments

We will review the current knowledge about monotone convolutions, monotone infinite divisibility, and monotone increment processes. The talk will close with several conjectures and open problems. Based on joint work with Takahiro Hasebe, Ikkei Hotta, and Sebastian Schleissinger.


Thursday, 9 November, 2017, 10:00-12:00, room 604

Malte Gerhold (Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald)

Bi-monotone independence

A new notion of independence for pairs of noncommutative random variables will be discussed. As for bi-freeness, which comes from a simultanious "left" and "right" realization of freeness on the free product of Hilbert spaces, bi-monotone independence comes from the simultanious study of monotone and antimonotone independence on the tensor product of Hilbert spaces. We will present a central limit theorem which admits a combinatorial description using bi-monotone pair partitions.


Thursday, 26 October, 2017, 10:00-12:00, room 604

Wojciech Młotkowski

Ujemna określoność metryki na grafie

Wiadomo, że dla niektórych grafów metryka $d(x,y)$ jest ujemnie określona (drzewa, grafy Cayleya grup Coxetera). Dla grafu spójnego $G=(V,E)$ definiujemy stałą $QEC(G)$ (,,quadratic embedding constant'') jako supremum wszystkich sum \[ \sum_{x,y\in V}d(x,y)f(x)f(y), \] gdzie $d(x,y)$ oznacza odległość $x$ od $y$ w grafie $G$, a $f$ przebiega wszystkie funkcje $f:V\to\mathbb{R}$ o nośniku skończonym takie, że $\sum_{x\in V}f(x)=0$ oraz $\sum_{x\in V}f(x)^2=1$. Ujemna określoność metryki jest równoważna temu, że $QEC(G)\le0$. W pracy badamy $QEC(G)$ dla gwiazdka produktów grafów. Są to wspólne wyniki z N. Obatą (Sendai).


Thursday, 19 October, 2017, 10:00-12:00, room 604

Maria Elena Griseta (University of Bari Aldo Moro)

Distributions on non-symmetric position operators on Weakly Monotone Fock Space

In this talk we investigate the distributions for sums of random variables $$x_i={a_i}^{-}+{a_i}^{†}+\lambda {a_i}^0,$$ where ${a_i}^{-}$, ${a_i}^{†}$ and ${a_i}^0$ denote respectively annihilation, creation and conservation operators on the Weakly Monotone Fock Space and $\lambda\in \mathbb{R}$. We start considering sum of position operators (case $\lambda=0$): after obtaining a recursive formula for the moments \[ \mu_{m,n} := \omega_{\Omega}\bigg(\bigg(\sum_{k=1}^{m}(A_{k}+A_{k}^{\dagger})\bigg)^{2n}\bigg) \] where $\Omega=1\oplus 0\oplus 0 \oplus 0\oplus \ldots$ is the vacuum vector and $\omega_{\Omega}(\cdot)=\left\langle \Omega,\cdot\Omega\right\rangle$ is the vacuum expectation, we calculate the Cauchy Transform of the distribution measure and the density for $m=2$. Finally we compute the distribution of a single random variable $x_i$ with respect to the vacuum state for the general case $\lambda\neq 0$.


Thursday, 13 October, 2017, 10:00-12:00, room 604

Anna Wysoczańska-Kula

Związki teorii kohomologii z procesami Levy'ego na zwartych grupach kwantowych

W referacie opowiem o nieprzemiennych procesach Levy'ego definiowanych na grupach kwantowych i próbach ich klasyfikacji. Jedną z nich jest badanie istnienia rozkładu typu Levy'ego-Chinczyna. Okazuje się, że istnienie takiego rozkładu jest zagwarantowane przez pewne warunki kohomologiczne (choć nie jest im równoważne). Do zobrazowania opisanej teorii posłużą uniwersalne grupy kwantowe.


Thursday, 28 September, 2017 10:15-12:00, room 604

Wiktor Ejsmont

Cancellation phenomenon in free probability II

I am going to continue my previous discussion about the cancellation phenomenon of sample variance.



Seminar archives

Past schedule for the year 2016/2017
Past schedule for the year 2015/2016
Past schedule for the year 2014/2015
Past schedule for the year 2013/2014
Past schedule for the year 2012/2013
Past schedule for the year 2011/2012
Past schedule for the year 2010/2011
Past schedule for the year 2009/2010
Past schedule for the year 2008/2009
Past schedule for the year 2007/2008
Past schedule for the year 2006/2007
Past schedule for the year 2005/2006
Past schedule for the year 2004/2005

Valid XHTML 1.0 Transitional