Seminaria

Referat dotyczyć będzie dwóch rozszerzeń pojęcia wolności: c-wolności i wolności infinitezymalnej. Oba te pojęcia odwołują się do nieprzemiennej przestrzeni probabilistycznej, w której do zdefiniowania pewnego typu niezależności wykorzystuje się dwa funkcjonały, w przypadku c-wolności mamy funkcjonały $\varphi$ i $\chi$ takie że $\varphi(1)=\chi(1)=1$, w przypadku infinitezymalnej wolności, zamiast funkcjonału $\chi$ rozpatruje się funkcjonał oznaczany przez $\varphi'$ o własności $\varphi'(1)=0$. W referacie przypomnę kombinatoryczne narzędzia charakteryzujące oba typy niezależności. W przypadku c-wolności przedstawię związek pomiędzy kumulantami zdefiniowanymi przez Bożejkę, Leinerta i Speichera i kumulantami badanymi przez Cabanala-Duvillarda. Przypomnę również nieprzecinające partycje typu B związane z infinitezymalną wolnością. Przedstawię również konstrukcję która wykorzystując funkcjonał $\chi$ pozwala zdefiniować funkcjonał $\varphi'$, w taki sposób żeby struktury, które były c-wolne względem pary $(\varphi,\chi)$, były infinitezymalnie wolne względem pary $(\varphi,\varphi')$. Omówię również trudności związane ze wspomnianą konstrukcją. Referat jest oparty na pracy wspólnej z M. Fevrier (Paryż, Francja), M. Mastnak (Halifax, Kanada) i A. Nica (Waterloo, Kanada).

Problem optymalnego zatrzymania przez osobę decyzyjną (selekcjonera) w swoim podstawowym brzmieniu zakłada, że dysponuje on tylko własną wiedzą na temat przeszłości i podejmuje decyzję na podstawie aktualnej obserwacji. W rozpatrywanej wersji występuje dodatkowo drugi gracz, który zna jakość wszystkich obiektów i może raz w ciągu całego procesu wyboru interweniować w proces decyzyjny. Interwencja ta powoduje uzyskanie przez selekcjonera dodatkowej informacji, która może pomóc lub utrudnić proces wyboru. Naszym zadaniem jest ustalenie optymalnej ceny tej wskazówki. Podany zostanie dokładny opis problemu za pomocą łańcuchów Markowa. Pokażemy jak wygląda strategia optymalna oraz zbiór stanów, które maksymalizują wypłatę gracza interweniującego. Zostaną też zaprezentowane możliwe rozwinięcia tego modelu.