Seminaria

Streszczenie. W latach pięćdziesiątych Gagliardo wykazał, że dla obszaru $\Omega$ z regularnym brzegiem operator śladu z przestrzeni Sobolewa $W^1_1(\Omega)$ do przestrzeni $L^1(\partial \Omega)$ jest surjekcją. Zatem naturalne jest pytanie o istnienie prawego odwrotnego operatora do operatora śladu. Petree udowodnił, że w przypadku półpłaszczyzny $\mathbb{R}x\mathbb{R}_{+}$ nie istnieje prawy odwrotny operator do operatora śladu. Podczas referatu przedstawię prosty dowód twierdzenia Petree, który wykorzystuje tylko pokrycie Whitney'a danego obszaru oraz klasyczne własności przestrzeni Banacha. Następnie zdefiniujemy operator śladu z przestrzeni Sobolewa $W^1_1(K)$, gdzie $K$ jest płatkiem Kocha. Przez pozostałą część mojego referatu skonstruujemy prawy odwrotny do operatora śladu na płatku Kocha. W tym celu scharakteryzujemy przestrzeń śladów jako przestrzeń Arensa-Eelsa z odpowiednią metryką oraz skorzystamy z twierdzenia Ciesielskiego o przestrzeniach funkcji hölderowskich.

W referacie przypomnimy pojęcie V-monotonicznej niezależności, sformułujemy odpowiednie centralne twierdzenie graniczne oraz omówimy jego kombinatorykę. Zostanie przedstawione podejście do uzyskania rekurencji na momenty parzystego rzędu standardowego V-monotonicznego rozkładu gaussowskiego (przy pomocy odpowiednich operatorów gaussowskich określonych na tzw. ciągłej V-monotonicznej przestrzeni Focka). Z tej rekurencji, rozwiązując odpowiednie zagadnienie początkowe, na które składa się równanie różniczkowe zwyczajne typu Abela (II-go rodzaju), otrzymuje się funkcję tworzącą momenty tego rozkładu w postaci uwikłanej oraz, co za tym idzie, jego część absolutnie ciągłą (także w postaci uwikłanej).

Bazując na odczycie L. Wanga w IM UWr z 18 IV 2019 próbuję zweryfikować pewną własność klastrów w perkolacji Bernoulliego na grupach hiperbolicznych związanych z przestrzenią hiperboliczną H³ (np. Coxeterowskich grupach odbiciowych ograniczonego wielościanu w H³). Brzeg Gromowa takiej grupy (czyli przestrzeń ,,punktów w nieskończoności'') jest homeomorfioczny ze sferą S². Pytanie jest następujące: czy brzeg klastra jest p.n. zerowymiarowym podzbiorem S², gdy prawdopodobieństwo otwierania krawędzi w perkolacji jest większe od prawdopodobieństwa krytycznego, ale mu bliskie? Staram się tego dowieść, dominując stochastycznie klaster perkolacji przez trajektorię rozgałęziającego się spaceru losowego takiego jak u Wanga i rozważając wymiar Hausdorffa brzegu klastra.