Seminaria

Streszczenie. W latach pięćdziesiątych Gagliardo wykazał, że dla obszaru $\Omega$ z regularnym brzegiem operator śladu z przestrzeni Sobolewa $W^1_1(\Omega)$ do przestrzeni $L^1(\partial \Omega)$ jest surjekcją. Zatem naturalne jest pytanie o istnienie prawego odwrotnego operatora do operatora śladu. Petree udowodnił, że w przypadku półpłaszczyzny $\mathbb{R}x\mathbb{R}_{+}$ nie istnieje prawy odwrotny operator do operatora śladu. Podczas referatu przedstawię prosty dowód twierdzenia Petree, który wykorzystuje tylko pokrycie Whitney'a danego obszaru oraz klasyczne własności przestrzeni Banacha. Następnie zdefiniujemy operator śladu z przestrzeni Sobolewa $W^1_1(K)$, gdzie $K$ jest płatkiem Kocha. Przez pozostałą część mojego referatu skonstruujemy prawy odwrotny do operatora śladu na płatku Kocha. W tym celu scharakteryzujemy przestrzeń śladów jako przestrzeń Arensa-Eelsa z odpowiednią metryką oraz skorzystamy z twierdzenia Ciesielskiego o przestrzeniach funkcji hölderowskich.

Quantum increasing sequences were introduced by S. Curran to characterize free amalgamated independence of an infinite sequence of random variables (over the tail algebra) by means of the so-called quantum spreadability. This is a de Finetti type theorem that in the classical case was first established by C. Ryll-Nardzewski, but the assumptions are formally weaker. The plan of the talk is to discuss the connection of this structure to quantum permutation groups and describe in full generality the quantum subgroups generated by them. This is done by establishing a certain inductive-type framework for generation in quantum groups, a combinatorial description of quantum permutation groups by means of Temperley-Lieb diagrams and recent resolution of Banica's conjecture: there is no intermediate quantum group satisfying $S_5\subset\mathbb{G}\subset S_5^+$.

W programie mamy dwa odczyty. O pracy "Integrability via reversibility". arxiv.org Jest to praca o rodzinie układów w której na części przestrzeni fazowej jest całkowalność (w sensie torusów niezmienniczych), a na uzupełnieniu układ zachowuje się chaotycznie. Te równania zwyczajne zadane są przez wielomiany (nawet stopnia 2). Zjawisko to związane jest z topologią rozmaitości na której rozpatrujemy układ, i symetrią "odwracalną", tzn. odwrócenie czasu daje układ sprzężony z wyjściowym.

Let $\Gamma$ be a nonelementary hyperbolic group equipped with a word metric. Consider a branching random walk (BRW) on $\Gamma$ with mean offspring $\lambda < \infty$ and let $\rho$ be the spectral radius of the base motion. It is known that, if and only if $\lambda > \rho^{-1}$, the BRW is recurrent in the sense that every point is visited infinitely often by the particles in BRW. In this talk, we focus on the transient regime $\lambda \in [1,\, \rho^{-1}]$ and study the critical behavior for the volume growth rate and the Hausdorff dimension of the limit set of BRW. More precisely, we prove that both of them exhibit phase transitions at $\lambda = \rho^{-1}$ and have critical exponent $1/2$. The talk is based on a joint work with Z. Shi, V. Sidoravicius and K. Xiang.