Warunkowe zagadnienie ruiny gracza z zastosowaniami

Rozpatrujemy łańcuch urodzin i śmierci na przestrzeni $\{0,...,N\}$ z przejściami $P(i,i+1)=p(i)>0$, $P(i,i-1)=q(i)>0$, $P(i,i)=1-(p(i)+q(i))>=0$, $i=1,...,N-1$, a stany $0$ oraz $N$ są pochłaniające (jest to tzw. zagadnienie ruiny gracza). Interesuje nas warunkowy czas trwania gry $T_i$, tj. czas do pochłonięcia w stanie $N$ startując z $i$. Beyer i Waterman (1977) pokazali, że dla klasycznego zagadnienia ruiny gracza (tj. $p(i)=p, q(i)=q$) rozkład $T_i$ jest symetryczny ze względu na $p$ i $q$ (tzn. jest taki sam dla $p'=q, q'=p$). Na seminarium podamy wzór na wartość oczekiwaną $ET_i$ w języku parametrów $p(i)$ oraz $q(i)$, pokażemy też, że implikuje on, iż $ET_i$ jest symetryczne ze względu na $p(i)$ i $q(i)$ (tj. jest takie samo dla $p'(i)=q(i), q'(i)=p(i)$) o ile tylko $q(i)/p(i)$ nie zależy od $i$. Używając natomiast wyników Mao, Zhang (2016) pokażemy, że w tym przypadku również rozkład $T_i$ jest symetryczny. Na koniec pokażemy jak niektóre z wyników dotyczących zagadnienia ruiny gracza można zastosować do niesymetrycznego błądzenia po okręgu. Wystąpienie będzie w znaczącym stopniu bazowało na: Lorek, P., Markowski, P. Conditional gambler's ruin problem with arbitrary winning and losing probabilities with applications. (Preprint 2018)