Seminaria

Let (X,d) be a locally compact separable ultrametric space. Given a measure m and a symmetric measurable function J(x,y) we consider the linear operator L^{J}f(x)=∫(f(x)-f(y))J(x,y)dm(y) defined on the set D of all locally constant functions f having compact support. According to , when J(x,y) is an isotropic function satisfying certain conditions, the operator (-L^{J},D) is essentially self-adjoint and extends in L²(X,m) as a self-adjoint Markov generator, its Markov semigroup exp(-tL^{J}) admits a continuous transition density (heat kernel) p^{J}(t,x,y) w.r.t. m. When J(x,y) is not isotropic but uniformly in x,y comparable to the isotropic function J(x,y) as above the operator (-L^{J},D) extends in L²(X,m) as a self-adjoint Markov generator, the Markov semigroup exp(-tL^{J}) admits a continuous heat kernel p^{J}(t,x,y) w.r.t. m, and the function p^{J}(t,x,y) is uniformly comparable in t,x,y to the function p^{J}(t,x,y), the heat kernel of the Markov semigroup exp(-tL^{J}). We illustrate our exposition by a number of examples.

Tematem wystąpienia będą formuły opisujące homomorfizm Gysina w kohomologiach ekwiwariatnych dla przestrzeni jednorodnych półprostych grup Liego z działaniem torusa. Wyniki opierają się na uogólnieniu twierdzeń o nieabelowej lokalizacji do przypadku kohomologii T-ekwiwariantnych oraz na przedstawieniu wzmiankowanych przestrzeni jednorodnych jako redukcji symplektycznych. W trakcie referatu przedstawię uogólnienia klasycznych twierdzeń dotyczących kohomologii redukcji symplektycznych (Jeffrey-Kirwan, Guillemin-Kalkman, Martin). Korzystając z tych uogólnień pokażę, na przykładzie rozmaitości częściowych flag serii A, jak uzyskać wzór opisujący ekwiwariatny homomorfizm Gysina.

Opowiem o związkach między pojęciami teoriomodelowymi (formuły i teorie stabilne, z NIP) a pojęciami z dynamiki topologicznej (funkcje słabo prawie okresowe, funkcje oswojone).

Opowiem też o twierdzeniu (z powstającej pracy z K. Krupińskim) o tym, że grupa Galois (Lascara) dowolnej teorii jest ilorazem zwartej grupy polskiej, i podobnie dla ilorazów grup typowo definiowalnych przez spójne składowe.

Opowiem o niektórych wynikach ze wspólnej pracy z Romanem Polem ,,On Borel maps, calibrated sigma-ideals and homogeneity", której najnowszą wersję można znaleźć na stronie https://www.mimuw.edu.pl/~piotrzak/publications.html. Przedmiotem badań pracy są m.in. sigma-ideały I_0(\mu) oraz I_f(\mu) borelowskich podzbiorów kompaktu X, które dla danej miary borelowskiej \mu mogą być pokryte za pomocą przeliczalnie wielu +zbiorów zwartych miary zero lub, odpowiednio, miary skończonej. Przyjmując definicję J. Zapletala mówimy, że sigma-ideał I na X jest jednorodny, jeśli dla każdego zbioru borelowskiego E +spoza I istnieje funkcja borelowska f: X --> E taka, że przeciwobrazy zbiorów z I są w I. Okazuje się, że dla pewnych naturalnych miar, niejednorodności sigma-ideałów I_0(\mu) i I_f(\mu) +towarzyszy jednorodność uzupełnień związanych z nimi algebr ilorazowych postaci Borel(X)/I.