Kształ linii $x^3+y^3=3xy+p$, dla parametru $p\in[-5,5]$ można zobaczyć tu, on-line.
Kształ powierzchni $4x^2+7y^2+7z^2+8yz=4xy+4xz+3$ można zobaczyć tu, on-line.
O zadaniach z Listy 7.
zad. 3 b) Znaleźć płaszczyznę styczną do powierzchni $\ e^{xz}=yz\ $ w punkcie $(1,e,1)$. Ilustracja:
tu, on-line.
Dla $\ F=e^{xz}-yz\ $ mamy: $\ F'_x=e^{xz}z$, $\ F'_y=-z$, $\ F'_z=e^{xz}z-y$,
skąd $\ F'_x(1,e,1)=e$, $\ F'_y(1,e,1)=-1$, $\ F'_z(1,e,1)=0$ .
Ponieważ $F'_z(1,e,1)=0$, więc trzeba zmienić tw. o f. uwikłanej, np. na wersję $y=y(x,z)$.
Zatem mamy równanie płaszczyzny stycznej do $F=0$ w $(1,e,1)$ :
$y=e+(-{e\over -1})(x-1)+(-{0\over -1})(z-1)$.
Odp. Płaszczyzna(!) $\ y=ex\ $ jest styczna do powierzchni $\ e^{xz}=yz\ $ w punkcie $\ (1,e,1)$.
zad. 5 c) Znaleźć ekstrema lok. f. uwikłanej $y=y(x)$ zadanej równaniem $\ \ln\sqrt{x^2+y^2}=\arctan\left({y\over x}\right)$.
Funkcja $\ F=\ln\sqrt{x^2+y^2}-\arctan\left({y\over x}\right)\ $ jest określona dla $x\neq0$ (poza osią OX).
Mamy: $\ F'_x={x+y\over x^2+y^2}$, $\ F'_y={y-x\over x^2+y^2}\ $ oraz
$\ F_{xx}''={y^2-x^2-2xy\over (x^2+y^2)^2}$, $\ F_{yy}''={x^2-y^2+2xy\over (x^2+y^2)^2}$.
Szukamy p. kryt:
$\ \ \left\{\begin{array}{l}-{F'_x\over F_y'}=0\\F=0\\F_y'\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} F'_x=0\\F=0\\F_y'\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=-x\\\ln(\sqrt2|x|)=-{\pi\over4}\\y\neq x\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=-x\\|x|={1\over\sqrt2}e^{-\pi{/}4}\\y\neq x\end{array}\right.
$
czyli mamy dwa punkty: $p_1={\Big(}{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$, $p_2={\Big(}-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$.
Dla nich $\ F_{xx}''={y^2-x^2-2xy\over (x^2+y^2)^2}={-2xy\over (x^2+y^2)^2}>0$, więc łatwo jest sprawdzić, że są w nich ekstrema lokalne.
[Niestety, to jeszcze nie koniec; to nie jest jeszcze pełne rozwiązanie.]
[Dalej już tylko szkic:]
Tw. o funkcji uwikłanej nie rozstrzyga, jak to jest z punktami spełniającymi układ $\ \left\{\begin{array}{l}F_y'=0\\F=0\end{array}\right.,\ $
czyli z $q_1={\Big(}{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2},{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}{\Big)}$,
$q_2={\Big(}-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2},-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}{\Big)}$.
Dla nich $\ F'_x\neq0$, więc z dualnej wersji tw. o f. uwikłanej wiemy,
że lokalnie leżą na wykresach funkcji uwikłanych $x=x(y)$,
które mają w tych punktach styczne $x={e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}$, $x=-{e^{\pi{/}4}\over\sqrt2}$ (odpowiednio).
Ponadto w nich $x''(y)\neq0$ (bo $\ F_{y}''={x^2-y^2+2xy\over (x^2+y^2)^2}={2xy\over (x^2+y^2)^2}\neq0$ ), więc ich wykresy leżą po jednej stronie swych stycznych.
Stąd już wynika, że w punktach $q_1$ i w $q_2$ równanie $F=0$ nie zadaje funkcji uwikłanej $y=y(x)$.
Odp. Równanie $F=0$ zadaje funkcję uwikłaną $y=y(x)$, która ma ekstrema lokalne w dwóch punktach: $p_1={\Big(}{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$, $p_2={\Big(}-{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}},{1\over\sqrt2e^{\pi{/}4}}{\Big)}$.
[ufff!].
Uwaga. Ilustrację do zadania można zobaczyć tu, on-line.
Uwaga. Jak polubisz liczby zespolone, to zobaczysz związek ze spiralą logarytmiczną.
zad. 6. Uwaga. W treści zadania podano, że linia o równaniu $\ x^4+y^4=9xy\ $ jest ograniczona (tzn. jest zawarta w pewnym kwadracie).
Można to uzasadnić podobnie jak tu >
8. Całka podwójna $\dint\limits_{D}f(x,y)\;d\omega$, całka potrójna $\tint\limits_{D}g(x,y,z)\;d\omega$
Notatki z Wykładu 8a. określenie całki (sumy dolne/górne, sumy Riemanna)
Notatki z Wykładu 8b. zamiana całki podwójnej/potrójnej na iterowaną) + ilustracja >>>
Przekrój stożków $S_1,\:S_2$
Stożki mają wysokości i promienie podstawy równe 1.
Wierzchołek stożka $S_2$ jest środkiem podstawy stożka $S_1$
i ich wysokości są prostopadłe.
Zadanie. (trudne) Oblicz pole cżęści powierzchni stożka $S_2$ zawartej w $S_1$,
czyli pole żółtej 'obłej ściany' przekroju tych stożków.
Wsk. Znajdź równanie różowej linii będącej rzutem linii czerwonej.
widok:
(manipulacje rysunku myszką)
Uwaga. Pole zielonej 'obłej ściany' nie wyraża się 'ładną' liczbą
(bo sprowadza się to do obliczenia pewnej całki eliptycznej).
9. Całka podwójna/potrójna; układ biegunowy/polarny, pole p/lata