W ciągu kilku najbliższych seminariów omówię moją najnowszą pracę wspólną z A. Pillayem. Rozwijamy w niej dynamikę topologiczną dla grup topologicznych definiowalnych w strukturach pierwszego rzędu. W szczególności wprowadzamy pewne nowe topologiczno-teoriomodelowe spójne składowe.
Dowodzimy, że średniowalność grupy w różnych kontekstach implikuje równość pewnych spójnych składowych (odpowiednich dla rozważanego kontekstu), w szczególności odpowiadając na pytanie z mojej wcześniejszej pracy z A. Pillayem i mojej pracy z J. Gismatullinem. Używając tego, uzyskujemy główny wynik pracy: jeśli grupa automorfizmów struktury ω-kategorycznej jest średniowalna (jako grupa topologiczna), to teoria tej struktury jest G-zwarta. Istotnym elementem dowodu, który jest ciekawy sam w sobie, jest przedstawienie grup Galois rozważanej teorii jako ilorazów grupy automorfizmów, zinterpretowanej w modelu monstrum pewnej bogatej struktury, przez odpowiednie spójne składowe przez nas wprowadzone.