Rodziny rozkładów typu Cauchy'ego-Stieltjesa

Dla dowolnego rozkładu $\nu$ o nośniku zwartym, wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1 definiujemy, przy pomocy jądra Cauchy'ego-Stieltjesa, pewną funkcję $V_{\nu}(m)$ oraz rodzinę rozkładów $\nu_{m}$ w taki sposób, że $\nu_{0}=\nu$, $m$ jest wartością oczekiwaną a $V_{\nu}(m)$ jest variancją rozkładu $\nu_{m}$. Klasycznym odpowiednikiem rodzin typu Cauchy'ego-Stieltjesa są naturalne rodziny wykładnicze (natural exponential families). W naszej wspólnej pracy, z Włodkiem Brycem i Raoufem Fakhfakhem, badamy klasę funkcji $V(m)$, które powstają w taki sposób. Stosując narzędzia wolnej probabilistyki podajemy charakteryzację w przypadku, gdy $V(m)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej 3. Jest to kontynuacja referatu Włodka Bryca z 30 listopada 2017.